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数独の全ての解の中で、回転や反転、対称性などを考慮した「同値」とみなされる解の数についての質問ですね。これは「数独の解の同値性」や「同型解」についての興味深いトピックです。
基本的な9x9の数独の解の総数は非常に多く、2005年に発見されたところによると、9x9数独の異なる解の総数は6,670,903,752,021,072,936,960通りです。
しかし、回転や反転（対称操作）を含めて同じ解とみなせる場合、異なる数独パズルの数は大幅に減ります。具体的には、次の操作によって「同じ解」とみなされることがあります：
90度回転、180度回転、270度回転
水平反転、垂直反転、対角線反転
数の置換（1を2に、2を3に、といった具合に数値を再割り当て）
これらの対称操作を考慮に入れると、数独パズルの「異なる」解の数はおよそ5,472,730,538通りになります。これは、全ての対称性を無視した場合の数の非常に小さい部分集合です。
この数は、対称性を考慮して同じ解とみなされる数独のパズルがいかに多いかを示しており、回転や反転によって実質的に異ならないパズルが多く存在することを意味しています。
数独の問題を唯一の解にするために、初期条件として与える数字の最小数は、理論的には17個であることがわかっています。これは、9x9の標準的な数独パズルにおいて、与えられた数字が少なくとも1つの唯一解を持つための最低限の数です。
この17個という数字は、数学的な証明やコンピュータによる探索の結果として導かれたものです。実際に、17個の初期条件を持つ数独パズルがいくつか発見されており、それらはすべて唯一の解を持っています。しかし、16個以下の初期条件では、これまでのところ唯一解を持つ数独パズルは見つかっていません。
ただし、17個というのはあくまで「最小数」であり、通常の数独パズルでは解く楽しさや難易度を考慮して、20個以上の初期条件が与えられることが一般的です。多くの数独パズルでは25〜30個程度の数字が最初に埋められており、それでも十分に解くのが難しいものが作られます。
つまり、理論的には17個の初期数字があれば唯一解が存在する数独パズルが可能ですが、実際にはそれよりも多くの初期条件が与えられることが多いです。
初期値の数が同じだった場合、全体にまんべんなく散ってるのと近傍に固まってるのとだと、どっちが難度高いのが多いの？一般的に言えないなら頻度的な感覚でもいいよ。
一般的な感覚として、初期条件が全体にまんべんなく散らばっている数独の方が、初期条件が近傍に固まっている数独よりも難易度が高くなる傾向が強いです。
理由としては：
初期条件がバランス良く全体に配置されていると、特定のエリアに限定された情報が得られにくくなります。各行、列、ブロックに一貫した情報が少ないため、解を進めるために多くの推論や複雑なテクニックを駆使する必要が生じます。
解くために使える直接的な手掛かりが少なくなるため、特定の領域で一度詰まると他の領域も影響を受けやすいです。
初期条件が固まっている領域では、その領域内で素早く解を進めることができます。局所的に解が進むことで、他のエリアにも影響が広がりやすく、次のステップに進みやすくなります。
これにより、ロジックだけで次々に解を見つけられる場合が多く、全体的に難易度が低く感じられることが多いです。
感覚的な頻度で言うと：
初期条件が散らばっている数独は、通常、より多くのステップを必要とし、試行錯誤や高度なテクニックを求められることが多く、そのために難易度が高いパズルになることが多いです。
初期条件が固まっている数独は、部分的にすぐに解ける箇所が出てきやすいため、比較的簡単なケースが多いです。
もちろん、初期条件の配置だけで難易度が完全に決まるわけではなく、必要となる解法テクニックも大きな影響を与えますが、まんべんなく散らばっている場合の方が全体として難しいと感じることが多いでしょう。
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