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集積の経済を考慮したモデルを用いて説明します。都市の生産関数を以下のように定義します：
Y = A * L^α * K^β * N^γ
ここで、Y は総生産、A は技術水準、L は労働投入、K は資本投入、N は都市の人口規模を表します。α, β, γ はそれぞれの弾力性を示します。
γ > 0 の場合、規模の経済が働きます。人口 N が減少すると、総生産 Y は比例以上に減少し、一人当たり生産性も低下します。
臨界点 N* を下回ると、急激な経済活動の縮小が起こります：
dY/dN = γ * A * L^α * K^β * N^(γ-1)
N < N* のとき、dY/dN が急激に大きくなり、小さな人口減少が大きな経済縮小をもたらします。
不確実性下での投資決定モデルを考えます。企業の期待利潤関数を以下のように定義します：
E[π] = p * f(K) - r * K - C(I)
ここで、p は製品価格、f(K) は資本 K の生産関数、r は資本コスト、C(I) は投資 I のコスト関数です。
不確実性を導入するため、価格 p を確率変数とし、平均 μ、分散 σ^2 の正規分布に従うとします。
リスク回避的な企業の効用関数を U(π) = -e^(-λπ) とすると（λ はリスク回避度）、企業の最適化問題は：
max E[U(π)] = -E[e^(-λπ)]
この問題を解くと、最適投資量 I* は以下の条件を満たします：
f'(K) = r / p + λσ^2 * f(K) / 2
右辺第二項はリスクプレミアムを表し、不確実性 σ^2 が大きいほど、最適投資量 I* は小さくなります。
効率賃金モデルを用いて説明します。労働者の努力関数を e = e(w, u) とし、w は賃金、u は失業率とします。
max π = p * F(e * L) - w * L
一階条件より：
p * F'(e * L) * (∂e/∂w * L + e) = L
これを解くと、最適賃金 w* は市場清算賃金よりも高くなり、非自発的失業が発生します。
非正規雇用を導入するため、労働を正規雇用 L_r と非正規雇用 L_n に分けます：
max π = p * F(e_r * L_r + e_n * L_n) - w_r * L_r - w_n * L_n
ここで、e_r > e_n, w_r > w_n となります。企業は正規雇用と非正規雇用のバランスを調整することで、柔軟な雇用管理を行います。
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