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1. Dブレーンと開弦の終端条件
2. ブレーン上のゲージ場とベクトル束
𝑆_{𝐶𝑆} = 𝜇ₚ ∫_𝑊 𝐶 ∧ exp(𝐹/2π)
- 𝐹 はゲージ場 𝐴 の曲率形式：𝐹 = 𝑑𝐴 + 𝐴 ∧ 𝐴。
- ベクトル束 𝐸 の同型類は、Dブレーン上のゲージ場の物理的に区別できない配置を表す。
- これらの同型類は、Dブレーンのワールドボリューム 𝑊 上のK-理論群 𝐾(𝑊) によって分類される。
- Dブレーンは背景空間 𝑋 に埋め込まれており、包含写像 𝑖: 𝑊 ↪ 𝑋 が存在する。
- 背景空間全体でのチャージの考察には、𝑋 上のK-理論群 𝐾(𝑋) を考える必要がある。
- ブレーンのチャージは、相対K-理論群 𝐾(𝑋, 𝑊) の元として分類される。
- 相対K-理論群 𝐾(𝑋, 𝑊) は、𝑋 上のベクトル束であり、𝑊 上での制限が自明なものの同型類を表す。
- 相対K-理論と通常のK-理論の間には、以下の長完全系列が存在する：
⋯ → 𝐾⁻¹(𝑋) → 𝐾⁻¹(𝑊) → 𝐾⁰(𝑋, 𝑊) → 𝐾⁰(𝑋) → 𝐾⁰(𝑊) → ⋯
- これにより、背景空間とブレーン上のK-理論群の関係性が明らかになる。
- チャーン・キャラクターはK-理論からコホモロジーへの写像を提供する：
𝑐ℎ: 𝐾⁰(𝑋) → 𝐻^{even}(𝑋, ℚ)
- 相対K-理論の場合も同様に、相対コホモロジー群への写像が存在する。
- Dブレーンの物理的チャージは背景空間の相対K-理論群の元として表され、これはブレーン上のゲージ束の情報を含む。
- このチャージはラムの場に対するソース項として現れ、チャーン・サイモンズ作用に反映される。
以上の議論から、Dブレーンのチャージは背景空間の相対K-理論群の元として分類されることが示された。これは、ブレーン上のゲージ場（ベクトル束）の位相的性質と背景空間への埋め込みに基づいている。
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