[経済メモ] いくつかの数学理論の統合

はてな匿名ダイアリー

2024-08-08

■[経済メモ] いくつかの数学 理論の統合

1. 無差別曲線 分析

効用関数 U: X → ℝ が消費者の選好を定義し、効用空間 X 上のレベルセットが無差別曲線を形成する。無差別曲線 U⁻¹(c) は効用関数 U のレベルセットとして定義される。

効用関数: U(x) = c, ここで x ∈ X は消費の組み合わせ。
無差別曲線: U⁻¹(c) = {x ∈ X | U(x) = c} は X 上のサブマンフォルド。

無差別曲線は効用空間内でのプレーンに対応し、その勾配 ∇U は無差別曲線に直交する。

2. ゲーム理論

ゲーム理論では、プレイヤー i の戦略空間を多様体 S_i とし、全プレイヤーの戦略空間を S = ∏_i S_i とする。プレイヤーの利得関数 π_i: S → ℝ はゲームの結果として得られる。

戦略空間: S = ∏_i S_i、ここで S_i はプレイヤー i の戦略空間。
利得関数: π_i(s) = 利得、ここで s ∈ S は戦略の組み合わせ。

プレイヤーの戦略の選択は戦略空間 S 上の点で表現され、ゲームの均衡は戦略空間上での最大化問題としてモデル化される。

3. 完全ベイズ均衡

完全ベイズ均衡では、情報の不完全性を考慮し、プレイヤーの信念と戦略を統合する。プレイヤー i のタイプ空間を Θ_i とし、信念空間を Δ(Θ_i) とする。信念 μ_i はプレイヤー i のタイプ θ_i に対する確率分布を示す。

信念: μ_i ∈ Δ(Θ_i)。
均衡条件: プレイヤー i の戦略 σ_i が、信念に基づく利得の期待値を最大化する場合、均衡が成立する。すなわち、σ_i(θ_i) ∈ argmax_{s_i ∈ S_i} E[π_i(s_i, s_{-i}) | θ_i]。

4. 情報 理論との統合

情報理論の要素をゲーム理論に統合するために、以下のように対応させる：

1. エントロピーと不確実性:

エントロピー: プレイヤーの信念 μ_i のエントロピー H(μ_i) は情報の不確実性を示す。エントロピー H(μ_i) = -Σ P(θ_i) log P(θ_i) で定義される。
情報の多様体: 確率分布 P は情報空間の多様体 ℙ 上の点として表現される。

2. ゲームの情報構造:

情報構造: プレイヤー i の信念 μ_i を用いて、ゲームの戦略空間 S_i 上での利得の期待値 E[π_i(s_i, s_{-i}) | θ_i] を最適化する。ここで、信念 μ_i によるエントロピーは、ゲームの戦略選択に影響を与える。

3. 情報量と戦略の選択:

情報量: プレイヤーの選択する戦略は、情報空間 ℙ 上の点としてモデル化され、エントロピー H(μ_i) がこの選択に影響を与える。戦略の選択は、情報量を最大化するように調整される。

統合的枠組み

ゲーム理論と情報理論を統合するために、以下の枠組みを考える：

1. 共通の多様体: 効用空間 X、戦略空間 S、信念空間 Δ(Θ)、情報空間 ℙ を統一的な多様体としてモデル化する。

2. ファイバーバンドル: 各理論の構造をファイバーバンドルとして表現し、効用、戦略、信念、情報を抽象的に結びつける。

3. リーマン計量: 各多様体上のリーマン計量を用いて、効用、戦略、信念、情報の変化を統一的に扱う。

graphvizによる視覚化

digraph G {
    // グラフの設定
    rankdir=LR;
    node [shape=box, color=lightgrey];

    // ノードの定義
    UtilitySpace [label="効用空間\n(X, U)", shape=ellipse];
    StrategySpace [label="戦略空間\n(S, π)", shape=ellipse];
    BeliefSpace [label="信念空間\n(Δ(Θ), μ)", shape=ellipsel];
    InformationSpace [label="情報空間\n(ℙ, H)", shape=ellipse];

    // ノード間の関係
    UtilitySpace -&gt; StrategySpace [label="効用関数\nU(x)"];
    StrategySpace -&gt; BeliefSpace [label="戦略の期待値\nE[π_i | θ_i]"];
    BeliefSpace -&gt; InformationSpace [label="エントロピー\nH(μ)"];
    InformationSpace -&gt; UtilitySpace [label="情報の多様体\nℙ"];

    // フォーマット設定
    edge [color=black, arrowhead=normal];
}

digraph G {
    rankdir=LR;
    node [shape=ellipse, style=filled, color=white, fontcolor=black, penwidth=2, fillcolor=white, color=black];

    // Nodes
    UtilitySpace [label="Utility Space (X)"];
    StrategySpace [label="Strategy Space (S)"];
    BeliefSpace [label="Belief Space (Δ(Θ))"];
    InformationSpace [label="Information Space (ℙ)"];
    FiberBundle [label="Fiber Bundle"];
    RiemannMetric [label="Riemannian Metric"];
    KL_Divergence [label="Minimize D_{KL}(μ_i || ν_i)"];
    ParetoOptimality [label="Pareto Optimality"];
    Constraints [label="Constraints"];
    Optimization [label="Optimization"];

    // Edges
    UtilitySpace -&gt; FiberBundle;
    StrategySpace -&gt; FiberBundle;
    BeliefSpace -&gt; FiberBundle;
    InformationSpace -&gt; FiberBundle;
    FiberBundle -&gt; RiemannMetric;
    RiemannMetric -&gt; KL_Divergence [label="Measure Change"];
    KL_Divergence -&gt; Optimization;
    Constraints -&gt; Optimization;
    Optimization -&gt; ParetoOptimality [label="Achieve"];

    // Subgraph for constraints
    subgraph cluster_constraints {
        label="Constraints";
        node [style=filled, color=white, fontcolor=black, penwidth=2];
        StrategyChoice [label="Strategy Choice"];
        BeliefUpdate [label="Belief Update"];
        StrategyChoice -&gt; BeliefUpdate;
        BeliefUpdate -&gt; Constraints;
    }
}