■数学的宇宙仮説の定式化

マックス・テグマークの数学的宇宙仮説は、物理的実在が数学的構造そのものであると主張する。これを厳密かつ抽象的な数学の枠組みで表現する。

1. 基礎設定

1.1 数学的構造のクラス

• 全ての数学的構造を対象とするクラスを 𝓜 と定義する。ただし、集合論的なパラドックスを避けるために、適切な基礎理論（例えば、NBG集合論やグロタンディーク宇宙）を採用する。

1.2 物理的実在のカテゴリ

• 物理的宇宙を記述する全ての可能な理論のモデルを対象とするカテゴリを Phys と定義する。

2. 数学的構造と物理的実在の関係

2.1 関手の定義

• 数学的構造のカテゴリ Str と物理的実在のカテゴリ Phys の間に関手 F: Str → Phys を定義する。

2.2 関手の性質

• 関手 F は完全忠実関手であり、圏同値を与える：F: Str ≃ Phys

3. 数学的宇宙仮説の定式化

定義（数学的宇宙仮説）

数学的宇宙仮説は、以下の主張を含む。

1. 存在論的同一性：Ob(Str) ≅ Ob(Phys) すなわち、数学的構造の対象と物理的実在の対象が一対一に対応する。

2. 構造保存性：∀ S₁, S₂ ∈ Str, Mor_{Str}(S₁, S₂) ≅ Mor_{Phys}(F(S₁), F(S₂)) すなわち、数学的構造間の射は物理的実在間の射と対応する。

4. トポス理論による高度な抽象化

4.1 トポスの導入

• 数学的構造の集合をトポス 𝓔_{𝓜} とし、物理的実在の集合をトポス 𝓔_{Phys} とする。

4.2 トポス間の同値

• トポス同値：𝓔_{𝓜} ≃ 𝓔_{Phys} これにより、論理的構造と物理的実在の間の深い対応関係を示す。

5. 論理的側面からのアプローチ

5.1 モデル理論の適用

• 一階述語論理の理論 T に対し、そのモデルのクラスを Mod(T) とする。

5.2 物理法則と数学的理論の同一視

• 物理的実在を記述する理論 T_{Phys} と数学的構造を記述する理論 T_{Math} が存在し、これらのモデルのクラスが同値である：Mod(T_{Phys}) ≅ Mod(T_{Math})

6. カテゴリ同値の具体的な定式化

6.1 双対性

• 数学的構造のカテゴリと物理的実在のカテゴリが双対的関係にある場合、Str ≃ Phys^{op} ここで、Phys^{op} は Phys の逆圏である。

6.2 アジャント関手の存在

• 関手 F とその右随伴 G が存在し、F ⊣ G これにより、数学的構造と物理的実在の間の情報の流れを形式化する。

7. まとめ

以上の抽象数学的枠組みを用いて、テグマークの数学的宇宙仮説を次のように定式化できる。

• 主張：物理的実在のカテゴリ Phys と数学的構造のカテゴリ Str は、関手 F により圏同値である。F: Str ≃ Phys

• 結論：外部実在は数学的構造そのものであり、全ての数学的構造は何らかの物理的宇宙として実現される。

解説

この定式化では、集合論、カテゴリ論、トポス理論、モデル理論などの抽象数学を用いて、数学的宇宙仮説を表現した。

特に、数学的構造と物理的実在の間の圏同値やトポス同値を強調することで、両者が数学的に同一視できることを示している。

また、関手やアジャント関手の概念を導入することで、数学的構造から物理的実在への情報の対応関係を形式的に捉えている。

これにより、テグマークが主張する「宇宙は数学そのもの」という考えを抽象数学で表現した。

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