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今日はテキサスホールデムポーカーを考えてみたで。ほんま、ゲーム全体を抽象構造として捉えるんやけど、これがまたおもろいんやわ。
まず、テキサスホールデムを状態空間 S とアクション空間 A の組としてモデル化するんや。
状態空間っちゅうのは、ゲームの全ての可能な状態（カードの配置とか、プレイヤーのベット状況とか）を表してて、アクション空間はプレイヤーが取れる全ての行動を表すんや。
S = {s₁, s₂, ..., sₙ}, A = {a₁, a₂, ..., aₘ}
遷移関数 T: S × A → S は、ある状態で特定のアクションを取ったときの次の状態を決めるんや。
報酬関数 R: S × A → ℝ は、特定の状態とアクションの組み合わせに対する報酬を与えるんやで。
状態空間とアクション空間に確率測度を定義して、各状態とアクションの発生確率を測度論的に記述するんや。
P: 𝔹(S × A) → [0, 1]
期待値は、報酬関数と確率測度を用いて計算され、各アクションの期待される利得を評価するんや。
E[R(s, a)] = ∫(S × A) R(s, a) dP(s, a)
各プレイヤーの戦略を戦略空間 Σ として定義して、戦略の組み合わせがゲームの結果に与える影響を解析するんや。
Σ = {σ₁, σ₂, ..., σₖ}
ナッシュ均衡は、戦略空間において、どのプレイヤーも自分の戦略を変更することで利益を得られない状態や。
uᵢ(σᵢ, σ₋ᵢ) ≥ uᵢ(σ'ᵢ, σ₋ᵢ), ∀ σ'ᵢ ∈ Σᵢ
プレイヤーの情報セットを用いて、各プレイヤーが持つ情報の非対称性をモデル化するんや。情報セットは、プレイヤーが観察可能な全ての情報を含むんやで。
Iᵢ = {Iᵢ₁, Iᵢ₂, ..., Iᵢₘ}
エントロピーを用いて、情報の不確実性を定量化するんや。情報の増加や減少が戦略に与える影響を解析するんやで。
H(X) = -∑(x ∈ X) P(x) log P(x)
これにより、戦略の微小な変化がゲームの結果に与える影響を評価するんやで。
戦略間の連続的変形をホモトピーとして捉えて、異なる戦略間の変換を解析するんや。
H: Σ × [0, 1] → Σ
この方法で、テキサスホールデムポーカーを数学的に理解して、理論的に最適な戦略を導き出すことができるんや。
ほんま、ゲームの本質を抽象的かつ数理的に捉えることができるんやで。
おもろいわ！
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