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Topological quantum field theory (TQFT)は、場の量子論の幾何学的概念を統一的かつ抽象的に捉える強力な枠組みである。以下に、TQFTの主要な側面を数式を用いて説明する。
1. 各向き付け可能な閉d次元多様体Σに対して、有限生成Λ加群Z(Σ)が対応する。
2. 向き付け可能なd次元ボルディズムM: Σ₀ → Σ₁に対して、Λ準同型Z(M): Z(Σ₀) → Z(Σ₁)が対応する。
3. 恒等射id: Σ → Σに対して、Z(id) = idZ(Σ)となる。
4. ボルディズムの合成M₁ ∘ M₂に対して、Z(M₁ ∘ M₂) = Z(M₁) ∘ Z(M₂)が成り立つ。
5. 空集合∅に対して、Z(∅) = Λとなる。
6. 非連結和Σ₁ ⊔ Σ₂に対して、Z(Σ₁ ⊔ Σ₂) ≅ Z(Σ₁) ⊗ Z(Σ₂)が成り立つ。
TQFTは以下の特徴を持つ:
δS = 0
ここで、δは対称性変換を表す。
δ² = 0
δOᵢ = 0
4. エネルギー運動量テンソルTμνが対称性変換の形で表される:
Tμν = δGμν
TQFTの量子化は、以下の幾何学的構造と密接に関連している:
ω = dθ
H = Γ(L)
ここで、Lは(M, ω)上のプレクァンタム線束で、Hは量子ヒルベルト空間である。
H^q(G/B, Lλ) ≅ Vλ (q = 0の場合)
H^q(G/B, Lλ) ≅ 0 (それ以外の場合)
ここで、G/Bはフラグ多様体、Lλは等質線束、Vλは最高ウェイトλの既約表現である。
3次元TQFTは、以下の不変量と関連している:
1. Jones多項式:
V_L(t) = Σₙ aₙ tⁿ
2. Reshetikhin-Turaev不変量:
Z_RT(M) = Σλ S₀λ Zλ(M)
ここで、Mは3次元多様体、λはラベル、S₀λはモジュラーS行列の要素、ZλはWRT不変量である。
3. Turaev-Viro不変量:
Z_TV(M) = Σ_triangulations Π_tetrahedra |6j|²
拡張TQFTは、より高次の圏論的構造を取り入れ、以下のように定式化される:
Z: Bord_n → nCat
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