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【ついに抽選！】サマージャンボの期待値を数学的に読み解いてみた！ | 【フルカラー図解】高校数学の基礎が150分でわかる本 | ダイヤモンド・オンライン
宝くじの期待値ってまったく意味のない数字なんだよね。だから、それをもって宝くじを買うのは得か損かを語ってるのは、確率の基本的な概念を理解してないと言える。そんな人が出してる数学の本とか当てにならんのでは。
サイコロをふって1の目が出る確率は1/6だ。じゃあ6回サイコロをふったとき、必ず1の目は1回出てしかも1回しか出ないかというと、もちろんそんなことはない。1回も出ないこともあるし、6回連続することもある。では、60回なら、600回なら、6万回ならと、試行回数を増やせば、それだけ計算上出た数字と実際の確率は近くなっていく。これを大数の法則という。
この大数の法則は、確率が低いものほどより多くの試行回数を必要とする。6面のサイコロなら6万回もふれば十分だろうけど、6万面のサイコロだと、6面サイコロで6回ふったのとおなじなのだ。6000万回とか6億回とか、そういう試行を必要としてしまう。
期待値というのはスコア×確率の合計だという。ここに確率がからんでくるため、大数の法則に従うわけだ。
再び6面サイコロで考えよう。出た目とおなじ金額がもらえるとする。期待値は3.5円。しかし、1回サイコロをふったら3.5円もらえるわけではない。1円のときもあれば6円もらえるときもある。しかし、これを何度も何度も続けていると、1回あたりの金額が3.5円に近づいてくるわけだ。6万面のサイコロでもおなじ。1回で3.5万円もらえるのではなく、繰り返し行うことで1回あたりが3.5万円に近づくのだ。だが、その値に近づくための回数は、6面のに比べ1万倍必要だろう。
宝くじというのは、簡単に言えば、当たる確率が低く当たった場合のリターンが大きいものと単純化することができる。上記の記事によれば今回のサマージャンボの1等は、0.000005%の確率で5億円があたるものらしい。どれだけの回数を行えば、つまりどれだけの量の宝くじを買えば、この確率に近い値が出るのだろうか？どうやって計算すればいいか知らんけど、10億枚とかそういう数字になるよね。
つまり普通に宝くじを買ったところで、期待値や還元率の値に近づかないんだよ。それにはあまりに試行回数が少なすぎる。だからそれらはまったく意味のない数字だ。いや、むしろ、多くの場合はそれより低い結果になるだろう。期待値なんかよりも損をするのが多いはずだ。
ならば、一層宝くじなんて買う意味ないよねと思うかもしれないけど、逆だ。確率が異常に低いからこそ儲かる可能性がある。
期待値−掛金は必ずマイナスになる。そうでなければ、胴元がもうからないから。つまり期待値に近い値が出るものは、比較的少ない試行回数でほぼ必ず損をしてしまう仕組みになっている。つまり大数の法則にハマりやすいのだ。たとえば競馬で固い馬券ばかり買っている人は必ず損してるしその損の割合もだいたい分かる。こういう場合は期待値が意味を持つし、止めるように説得する材料として適切だろう。
一方、宝くじのように確率がぐんと低いものは、大数の法則にハマらない。結果がバラけるのだ。そしてごくごく稀だけどボロ儲けできる。宝くじで生計をたてようなんて土台無理な話だけど、一攫千金を夢見てドフに捨てるつもりでというなら正しい。
逆バージョン的な話としてはサンクトペテルブルクのパラドックスがあるね(´・ω・｀)
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