■anond:20190110142434

はてなーって、偉そうなわりに全然数学をわかってないよね。

大半の人にとって、数学は適当に覚えて使うもので、理解するものではないらしい。

少し前に話題になった、「円周率＝４の証明」。

http://b.hatena.ne.jp/entry/originalnews.nico/148297

ブコメがたくさん付いているが、そもそも、この証明の主張を理解している奴が少なすぎる。

上記の記事を読んだとき、次の事項を理解した奴はどれだけいるんだ？

• 上記の証明では、半径２の扇形の弧を二次元平面上の点の集合Ａとして捉えている。

• 青色の折れ線 (円弧の近似) も、二次元平面上の点の集合である。

• 円弧上に n 個の点を取ったときの青色の折れ線を集合 Ａn と表すと、確かに Ａn → Ａ (n → ∞) が成り立つ。

つまり、「青色の折れ線が赤色の円弧に収束する」は真である！

ここの収束性については何ら問題ないんだよ。ε-δとか言ってる奴は全然わかってない。

これは集合列の収束であって、数列の収束とは明確に違う。

元動画でも、「n → ∞のとき、青色の線分の集合は……等しくなる」と書かれており、作者は明らかに集合列の極限を考えている。

問題は、長さの収束についてどう考えるかだ。次の事項をおさえる必要がある。

• ＡおよびＡnは、いずれも二次元平面に埋め込まれた一次元集合である。
• 二次元平面に埋め込まれた一次元集合の長さは、適当な集合族上で定義された測度 μ を用いて与えられる。
• Ａの長さは μ(Ａ)、Ａnの長さは μ(Ａn)。

以上より、「円周率＝４の証明」で誤っているのは次の点であることがわかる。

• 証明では、「Ａn → Ａ (n → ∞) ならば μ(Ａn) → μ(Ａ) (n → ∞)」という極限操作の順序交換を (暗黙に) 行っている。
• このような極限操作の順序交換は無条件に行えるものではなく、今回の場合は順序交換が不可能である。

極限操作の順序交換に関する議論は一見、直感に反するような例も多く、これを正しく理解するには、比較的高度な (抽象度の高い) 数学に慣れ親しむ必要がある。

ブコメを見た感じでは、上記の内容を理解しているはてなーは片手で数えられる程度のようだった。お前ら偉そうな癖に全然数学わかってないんだな。

なお個人的に、「円周率＝４の証明」は、大変わかりやすい問題設定であるにも関わらず、これを腑に落ちる形で反証するためには高度な数学的素養を要求するという意味で、極めて秀逸だと思う。

Permalink | 記事への反応(2) | 19:47

ツイートシェア