2016-10-24

0.999999... = 1 が理解できない中学生

中学生「0.999999... = 1 に納得がいきません.なぜこれが成り立つんですか?」

先生分数 1/3 を小数で表すと 0.333333... ですね.つまり

1/3 = 0.333333...

です.両辺を 3 倍すれば

1 = 0.999999...

になります

中学生ちょっと待って下さい!まず

1/3 = 0.333333...

っていうのはなんですか?」

先生「1 ÷ 3 を筆算してみればわかるように,商の部分には最初の 0. のあとは

ず〜っと 3 が続きます.その様子を表現したのが 0.333333... です」

中学生「なるほど,ただの表記法ということですね.でもその場合,0.333333... を

3 倍したのが 0.999999... になるのはどうしてですか?」

先生「例えば,0.333場合で考えてみましょう.これを 3 倍したら 0.999 ですよね?

0.3333 の場合は 3 倍すると 0.9999 です.これは 0. のあとに 3 が何個ある場合でも成り立ちます

中学生ちょっと待って下さい!確かにそうですが,それは 0. のあとの 3 の数が 3 個とか 4 個とか,

もっと多い場合,例えば 100000 個ある場合ですよね?

一方,この表記法は 0. のあとの 3 の数が ◯◯個あるとはいえません.

から,それに 3 倍するって計算はできないんじゃないでしょうか?

実際,0. の一番右側の 3 がないから,筆算ができません」

先生ぐぬぬ

小学生もっというと,0.333333... がただの表記法にすぎないなら,0.999999... っていうのだって

0.333333... を 3 倍した数を表記しているだけってことですか?

ただの表記法問題なのであれば,わざわざ 0.999999... って書かなくたって

0.333333... × 3 = 1 と書けばいいんじゃないですか? 1/3 = 0.333333... なんだから,3 倍したら 1 なんだし.

そう考えてみると,0.333333... × 3 をわざわざ 0.999999... と書く意味はなんなんでしょうか?」

先生「それは,0.333333... × 3 が 0. のあとに 9 が無限に並んでいる数,つまり 0.999999... に

ピッタリ等しいということを表現したいからです」

中学生「あれ?0.333333... とか 0.999999... というのは筆算の結果を表現したものではなかったのですか?

でも 0.999999... って何を筆算したら出てくるんだろう?

あ!1 ÷ 1 の筆算で,最初に商に無理やり 0. を立てれば 0.999999... が出てくるけど,だからなんなんだろう?」

先生ちょっと話がそれてきたので,今までのことは一旦忘れて,別な説明をしてみます

x = 0.999999... (1)

とおきます.これを 10 倍すると

10x = 9.99999... (2)

です.(2) から (1) を引くことで

9x = 9

が出てきます.よって,x = 1,つまり

0.999999... = 1

が成り立つことがわかりました」

中学生ちょっと待って下さい!なんか騙されている気がします.

まず,10x = 9.99999... というのはなんですか?」

先生「x の両辺を 10 倍しただけです.

0.999999... は 0. のあとに 9 が無限個続くので,10 倍したもの9. のあとに 9 が無限個続きます

中学生「うーん,なんか騙されているような…….

9x = 9 が成り立つのは何故ですか?」

先生「(2) から (1) を引いただけです.

「x = 0.999999... は 0. の後に 9 が無限個あるので,

10 倍したあとも 10x = 9.999999... のように

9. のあとに 9 が無限個続くのでこうなります.」

中学生ちょっと待って下さい!それっておかしくないですか?

0. のあとの 9 の数が 3 個の場合を考えてみると,

x = 0.999 (1)'

10x = 9.99 (2)'

となって,(2)' から (1)' を引くと

9x = 8.991

よって,x = 0.999 になりますよ!なんで無限個のときはこういうことが起こらないんですか?」

先生ぐぬぬ

※どう?皆さんは説明できる?

個人的には 0.999999... = 1 が成り立つことを,

中学生いかなる質問にも対応しながら説明できる割合は(※中学数学範囲を超えても良い)

小学校教員 0%

中学校教員 0%

高校教員 5 %

理系大学生 10%

数学科学生 30%

だと思ってる.

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    2chのスカッとするコピペとか好きそう

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    かつて理系大学生、数学科学生だった教員なんて相当数いるのに、なんでそんな割合になるんだろ。現役大学生が書いたんだろうか。

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    さすがに「いかなる」となるとどの立場でも0%じゃないか? テレビで見た未解決問題を先生に振ってみる生徒とかいてもおかしくないし。 自分は先生に振ったことはないが、中二病...

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    「強い想いは限界を超える。お前たちも自分の限界を感じたらこの話を思い出せ。お前たちの限界は、いつだって「0.9999...」なんだからな…」

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    こういう子どもが実在するとしたら、数学科に行くんだろうなあって思った ばりばりの理系っつーのかな 自分には全然理解できん世界だわ

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    有理数も無理数も無限にあるのに無理数のほうがいっぱいあるって意味がわかんないよ。

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    数学って数そのものについて研究すると、途端に難易度上がるのは何故なんだ。

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    この中学生にいくつか聞いてみたい。 0.99999..... - 0.33333.... は計算できますか?と。 つぎに、 1 - 0.33333.... は計算できますか?とも聞いてみよう。 この場合の 0.33333.... は...

  • 0.999…= 1 が実感として理解するのは難しい| ただの通りすがり

    0.999...が限りなく1に限りなく近い数字だから1と等しいという理解は、(おそらく)間違っています。

  • http://anond.hatelabo.jp/20161024040352

    数学科の学生は小学校教員、中学校教員になれないの?

  • http://anond.hatelabo.jp/20161024040352

    http://i.imgur.com/lW8vh3w.png 増田ってtex使えないじゃん

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    これさ、マジメに答えるとしたら 1. 一般の循環小数の定義を(無限級数で)与える 2. 上記の特殊な場合として0.333...を考える 3. |1/3-0.333...|が任意のε>0よりも小さくなることを示す で...

    • http://anond.hatelabo.jp/20161024211843

      そこまでいくなら0.999...のまま極限の論理の意味を示せばいいのではないでしょうか。 まず、0.999...が1じゃない、とするならば、それは「1でない何か」の具体的な数である、というこ...

      • http://anond.hatelabo.jp/20161024233138

        この生徒なら「ちょっと待ってください、0.999…って本当に数になるんですか?」と聞いてきて 単調収束定理の話をすることになり最終的に実数を定義する話になりそう

        • http://anond.hatelabo.jp/20161025075914

          重要な点は最初に、0.99....が数であるとした時点で必ず1になること自体を納得させることだと思いますよ。 その上で、0.99....のようなものでも同種の数となるように作られたのが実数で...

  • http://anond.hatelabo.jp/20161024040352

    先生最初に答え書いてるじゃない。 0.の後にずっと3が続く様子を表すって。 特定の実数を表記した物では無く 数を永遠に繰り返すプロセスを表記したんだから。 普通の数と同じ様に扱...

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    こまけぇこたぁいいんだよ!!

  • anond:20161024040352

    高校の数列の知識が必要だが、私は下記が一番納得できる。 0.99999...は初項0.9、等比0.1の無限等比級数とみなせる。 そのため、 ■等比が1より小さいときの無限等比級数の公式 a + ar + ar...

  • http://anond.hatelabo.jp/20161024040352

    まっすぐな線路の上に立って遠くを眺める 2本の線が交わって見えてくる

  • http://anond.hatelabo.jp/20161024040352

    0より大きく、1より小さい実数の集合Aを考えよう。 0.1も含まれる、0.33333..... も含まれる。でも1は含まれない。 数式で書くとこんな感じだ。 A={ x∈R , 1>x>0 } この集合Aには最大値も...

  • 0.999…=1は公理じゃねぇぇぇぇ

    0.999…が1と等しい事がわからん中学生がいる、っていう増田のエントリ[1]があって、 それに対してわっと氏が「等しいのは公理だから」って返答[2]している。 [1] http://anond.hatelabo.jp/201610...

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