■anond:20241007235856

光の速さは一定

マイケルソンモーレーという実験がある

地球は宇宙空間を動いているのだから、地球の進行方向と垂直方向では光の速さが変わるだろう。そう考えて実験してみたところ、どちらの速さも変わらなかった。つまり、どんな系でも光の速さは一定であるらしい。

これを式にするとこうなる。

光の速さをc, 時刻 t の間に光の進む距離を x として

x/t = c

式変形すると

(ct)^2 - x^2 = const = 0

おや、なんだか見たことある形になったね

空間回転を考えよう

ここで一旦休憩。座標系を回転させても'棒の長さは一定'という式を考えてみよう

x^2 + y^2 = const

かんたんのため z 方向は考えない

この時座系を回転させる式を行列で書くと

x'　=　| cos　 -sin | x

y' 　　 | sin 　cos | y

こうなる。（心の目で読んで欲しい）

cos^2 + sin^2 = 1

という式を思い出すと

x'^2 + y'^2 = x^2 + y^2 = const

であることが確かめられると思う

戻って光の速さが一定の式

(ct)^2 - x^2 = const = 0

上の'棒の式'とは符号が逆だね。こんなときはsin cos ではなく sinh cosh を使う。

cosθ = ((exp iθ) + (exp -iθ))/2

sinθ = ((exp iθ) - (exp -iθ))/2

sin cos は↑の定義だったのに対して

sinh cosh は↓の定義

coshθ = ((exp θ) + (exp -θ))/2

sinhθ = ((exp θ) - (exp -θ))/2

計算すると

cosh^2 - sinh^2 = 1 になるのがわかると思う。

cos^2 + sin^2 = 1 とは符号が逆になってるね

光の速さが系を変換しても変わらないという式を行列で書くと

ct' = | cosh 　-sinh | ct

x' 　 | -sinh 　cosh | x

こうなる。 これがローレンツ変換。

(ct')^x - x'^2 = (ct)^2 - x^2

であることが確かめられると思う。

棒の長さが一定、つまり空間回転は空間方向 (x,y,z)しか混ぜないけれど、

光のはやさが一定、つまりローレンツ変換は 時間と空間 (t, x ) を混ぜているでしょ？

時間が遅れる

速さ v で進むロケットを考えてみよう。

地上では昇くんがロケットを観測している。

t 時間後に到達した距離を x として

v=x/t 　

だ。

一方、ロケットには美加子さんが乗っていてその携帯電話の表示では地球を発ってから T時間後である。

Tを計算してみよう。

先程のローレンツ変換の式に代入すると

cT = ct cosh - x sinh = ct ( cosh - v/c sinh)

ここで x = ct を使ったよ。最後に cosh で全体を纏めると

= ct cosh ( 1 - tanh^2)

= ct (1/cosh)

になる。

ここまで誤魔化していたけど、cosh はロケットの速さ v で決まるパラメータで

1/cosh = \sqrt{1-(v/c)^2}

なんだ。天下りで申し訳ないけど、増田では式も図も書けないので導出は勘弁して欲しい

とにかくまとめると

T = t \sqrt{1-(v/c)^2}

だね。ロケットの速度 v は光速度以下なので T ＜ t になる。

地上で待つ昇くんが大学生になっても美加子さんが中学生のままなのはこんなワケだね

v が大きくなるほど時間の遅れは大きくなるよ

Permalink | 記事への反応(0) | 14:09

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