  |
はてなキーワード: 合成数とは
m + n = 2xなので、mとnは両方とも奇数 or 両方とも偶数。
m = n = 2のときはx + y = 2を満たす素数x, yは存在しないので不適。したがって、m, nはともに奇数。
x - y = nが奇数なので、xとyは一方が奇数でもう一方が偶数。x = 2だと、nが素数にならないので、y = 2。
よって、
(n, x, m) = (x - 2, x, x + 2)
がすべて素数となるxを求めればよい。
x = 5はこの例である。これ以外に解が無い事を示す。x＜5のときはx - 2, x, x + 2がすべて素数となるxは無い。
2 ≡ -1 (mod 3)より、x - 2, x, x + 2の1つは必ず3の倍数になる。したがってx＞5のとき、x - 2, x, x + 2の少なくとも1つは必ず合成数になる。
以上から、求める解は
(x, y, m, n) = (5, 2, 7, 3)
のみ。
https://twitter.com/mathmatsuri
問4
n=6, 8, 10, …, 78, 80の38通りなのですべて書き出せば解けるんだろうが、いかに省エネできるか考えながら進めていきたい。まずは実験しないと始まらない。
小さいnから考えるとパターンが少なすぎるので、大きいnから考えてみる。
n=80のとき(3, 77) (5, 75) (7, 73) (9, 71) (11, 69)…の中から素数のペアを探していけばよい。
nによらず同じように書き出していくことを考えると、まずは素数のリストがあった方がいい。77まででよい。また2は不要。
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73
n/2よりも小さい素数より、n/2よりも大きい素数の方が多い。計算の回数を減らすために上から順番にnから引き算して素数が残るかどうか判定する。
素数が残る: 73, 67, 61, 43
合成数が残る: 71, 59, 53, 47, 41
pとqがともに素数となる組は(73, 7) (67, 13) (61, 19) (43, 37)とこれらを逆にした8通り。
よってP(80)=8/40=1/5
次、n=78に対して素数リストの上から順番に引き算していく。n/2=39まで。
素数が残る：73, 71, 67, 61, 59, 47, 41
合成数が残る: 53, 43
pとqがともに素数となる組は(73, 5) (71, 7) (67, 11) (61, 17) (59, 19) (47, 31) (41, 37)とこれらを逆にした14通り。よってP(78)=14/39
素数が残るパターンがずいぶん多かった。ところで求めるのはP(n)の最小値。今後分母は減っていくので、組み合わせの数が今のところの最小値の8以上になることが分かった時点でそれ以上計算する意味はなくなる。つまりn/2より大きいpが4つ見つかったらその時点で終了してよい。n/2が素数の時は別で考える必要があるので出てきたら考える。あと合成数が残るパターンは書き残さなくてもよい。
n=76で同様の操作を。
素数が残る：73, 71, 59, 53 ここで終了
n=74
71, 67, 61, 43 ここで終了
n=72
67, 61, 59, 53 終了
n=70のとき67, 59, 53, 47 終了
n=68のとき61, 37の2つだけ。つまりp, qが両方とも素数になるのは(61, 7) (37, 31)とその逆の4通り。
以後はn/2より大きいpが2つ見つかったらその時点で終了してよい。
n=66のとき61, 59 終了
n=62のとき59, 43 終了
n=60のとき53, 47 終了
n=58のとき53, 47 終了
n=56のとき53, 43 終了
n=54のとき47, 43 終了
n=52のとき47, 41 終了
n=50のとき47, 43 終了
n=48のとき41, 37 終了
n=46のとき43, 41 終了
n=44のとき41, 37 終了
n=40のとき37, 29 終了
n=38のとき31, 19(=n/2) p, qが両方とも素数になるのは(31, 7) (19, 19) (7, 31)の3通りなのでP(38)=3/19
P(68)=2/17=3/25.5なのでP(38)>P(68)
n=32のとき29, 19 終了
ここから先はn/2より大きいpが1つ見つかった時点でP(n)=2/(16以下)がP(68)=2/17を超える。
n=22のとき19 終了
n=18のとき13 終了
n=16のとき13 終了
n=8のとき5 終了
n=6のとき(p,q)=(3,3)のみ P(6)=1/3=2/6>2/17=P(68)
-----------------------------------------------------------------
新幹線乗ってる間暇だったから中学高校でやってた素数について考えたわけ
そのときさ、「pがp未満かつ1でない全ての自然数に対して割り切れない」って考えたんだけど
「pがp未満の全ての素数に対して割り切れない」って同じじゃねーかなみたいなことふと思ったの
んで同値であることを証明しようと思って、んでたぶん最初の命題から次の命題を証明するのは簡単じゃん
ｐ未満の全ての素数も自然数なんだから自然数で割り切れないんだったら素数でも割り切れないじゃん
でも二番目の命題から一番目の命題のやつだとなんとなく背理法でしかわかんないのね
pがp未満の全ての素数に対して割り切れないとき、pがp未満の1以外の自然数で割り切れるとすると
その自然数がもし素数なら、全ての素数に対して割り切れないことと矛盾するじゃん
この場合素数で割り切れることになってやっぱり全ての素数に対して割り切れないことと矛盾するじゃん
だからp未満の全ての素数で割り切れないならやっぱり1以外の全ての自然数でも割り切れないんじゃね？
ってなったのね。間違ってたらすんまそん
「1以外の全ての自然数で割り切れない」ことと「全ての素数で割り切れない」ことが一緒になるって普通におかしくね？
どう見ても自然数と素数って定義違うし集合も違うのにこのことが同じになったらおかしいじゃん
命題の使い方間違ってそう
