「ベクトルバンドル」を含む日記

■M理論の公理系

基本概念

• 位相多様体 M (dim M = 11)
• ファイバーバンドル E → M
• 接続 ∇ on E
• 曲率形式 F = ∇²
• スピノール場 ψ ∈ Γ(S), S はスピノールバンドル

公理

1. (多様体構造) M は滑らかな11次元位相多様体である。

2. (ゲージ構造) E は M 上のベクトルバンドルで、構造群 G を持つ。

3. (超対称性) M 上に32個の超対称性生成子 Q_α (α = 1, ..., 32) が存在し、以下の反交換関係を満たす：

{Q_α, Q_β} = 2(CΓ^μ)_αβ P_μ + Z_αβ

ここで C は電荷共役行列、Γ^μ はガンマ行列、P_μ は運動量演算子、Z_αβ は中心電荷。

4. (作用原理) M理論の作用 S は以下の形式を持つ：

S = ∫_M (R * 1 + 1/2 * F ∧ *F + ψ̄Γ^μ∇_μψ + ...)

ここで R はスカラー曲率、* はHodgeのスター演算子。

5. (双対性) 異なるコンパクト化 M → M' に対して、物理的に等価な理論が得られる。

定理

定理1 (BPS状態の存在)

エネルギーが中心電荷で下から押さえられるBPS状態が存在する。

証明:

1. 超対称性代数から、エネルギー演算子 H は以下の不等式を満たす：

H ≥ √(Z_αβ Z^αβ)

2. この不等式の等号が成り立つ状態を BPS 状態と呼ぶ。

3. 超対称性の表現論により、このような状態は必ず存在する。

4. よって、BPS状態の存在が示された。 □

定理2 (M2ブレーンの張力)

M2ブレーンの張力 T_M2 は、11次元プランク長 l_p を用いて以下のように与えられる：

T_M2 = 1 / (4π²l_p³)

証明:

1. 作用原理から、M2ブレーンの世界体積作用を導出する。

2. この作用を11次元超重力理論の作用と比較する。

3. 次元解析により、張力 T_M2 の次元が [長さ]^(-3) であることがわかる。

4. 唯一の長さスケールである l_p を用いて表現すると、係数を含めて上記の結果が得られる。

5. この結果は、デュアリティ変換の下で不変である。 □

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