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定義 1: n次元拡張TQFTは、以下の対称モノイダル(∞,n)圏の間の対称モノイダル関手として定義される：
Z : Bord_n^fr → nAlg(C)
ここで、
定理 1 (Cobordism Hypothesis): n次元フレーム付きTQFTは、その値域圏の完全双対対象と一対一に対応する。
ここで、pt_+ はフレーム付き正の点、nAlg(C)^fd は完全双対対象の部分∞圏を表す。
定義 2: Bord_n^fr の k-モルフィズム (0 ≤ k ≤ n) は以下のように定義される：
定義 3: nAlg(C) の構造は以下のように帰納的に定義される：
公理 1 (モノイダル性): 任意の k-モルフィズム M, N に対して、
Z(M ⊔ N) ≅ Z(M) ⊗ Z(N)
公理 2 (関手性): 任意の合成可能な k-モルフィズム f, g に対して、
Z(g ∘ f) ≅ Z(g) ∘ Z(f)
公理 3 (単位元の保存): 各次元 k の単位元 1_k に対して、
Z(1_k) ≅ 1_Z(k)
公理 4 (双対性): 向きを反転した多様体 M^op に対して、
Z(M^op) ≅ Z(M)^∨
ここで、^∨ は双対を表す。
定理 2 (Factorization Homology): n次元拡張TQFTは、以下のようなファクトリゼーションホモロジーとして表現できる：
Z(M) ≅ ∫_M A
ここで、A = Z(R^n) は En代数、∫_M はファクトリゼーションホモロジーを表す。
定理 3 (Dunn's Theorem): En代数の∞圏は、n回反復されたE1代数の∞圏と圏同値である：
En-Alg(C) ≅ E1-Alg(E1-Alg(...(E1-Alg(C))...))
3次元拡張Chern-Simons理論は以下のように定義される：
定理 4: 3次元Chern-Simons理論のモジュラーテンソル圏は、量子群 U_q(g) の表現圏と同型である：
Z(S^1) ≅ Rep(U_q(g))
ここで、q = exp(2πi/(k+h^∨))、k はレベル、h^∨ は双対コクセター数。
定理 5 (Baez-Dolan Tangle Hypothesis): n次元フレーム付きTQFTは、(n-1)次元タングルの(∞,n)圏 Tan_n の対象と一対一に対応する：
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