■anond:20220107154422

Cがxを変数とする命題であるとき

{x|C}というのはCが真になるようなxを数え上げてるわけだ。

だから{x|xは自然数}というのもたとえばxに1を代入すれば「1は自然数」となって真偽値が真になるから1が、同じように2以降のすべての自然数が元として列挙されることになるというわけ。

こうした考え方においては{x|xは自然数}とか{x|x^2+3x+2=0}みたいな文は、{x|C}のCにおいてxが主語であるようなケースという、特殊な形に過ぎないことがわかるだろう。つまり応用が効くわけである。

さらにあの参考書には∃x∊X(p)とは「Xの元xを変数として含む文pについて、pを満たすxが存在する」みたいに書いてあったと思う。

これらを踏まえて{x|∃A∊μ(x∊Ａ)}をどう読み解けばという話なのだ

要するに検討すべきは∃A∊μ(x∊Ａ)の真偽値だ。

もっというならx∊Aという文の真偽値にxやAに具体的な数を入れて判断すればいいということなのだ(とりあえず読み進めてほしい)。

そこでたとえばμの元となる集合をA1={1,2},A2={2,3}としてみるとする。

本来のの目的に立ち返ればどんなxが列挙されているのか知りたいというわけだから、まずxを固定するのが筋だ。

つまりたとえばx=1とする。

次にx∊A1やx∈A2が真か偽かを考えてみる

ここではさすがに「明らかに」x∊A1が真で、x∊A2が偽だろう。

したがって、上でA1が真になる例として挙げられたように、1∈Aを満たす、μの元Ａが存在するということである。

今ここで考えているのは∃A∊μ(1∊Ａ)の真偽値についてのはずである。

そのうちの1∊Aを、∃x∊X(p)におけるpにあてはめて考えれば、他の記号についてもそれぞれ置き換えると次のように読むことができると思う。

「μの元Ａを変数として含む文1∊Ａについて、１∊Ａを満たすＡが存在する」ということだ。

先ほど確認したように、１∊Ａを満たすＡが存在するわけである。

つまり「μの元Ａを変数として含む文1∊Ａについて、１∊Ａを満たすＡが存在する」という文も真なのである。

ということは{x|∃A∊μ(x∊Ａ)}は∃A∊μ(x∊Ａ)が1について真なので、1は列挙されているわけである。

同様にすれば

2∊A1は真

2∈A2は真

3∈A1は真

3∈A2は偽

ということでいずれのA1やＡ２に含まれるいずれの元の場合についても∃A∊μ(x∊Ａ)は真なので

{x|∃A∊μ(x∊Ａ)}とは{1,2,3}のことなのである。

ところで∪μの定義は「μの元である任意の集合Ａに少なくとも一つは含まれる元を全て含む集合」であった

A1とA2のいずれかに含まれている元は1,２,３のいずれかなので

この場合∪μ＝{1,2,3}

だからあの参考書は「明らかに」∪μ={x|∃A∊μ(x∊Ａ)}と言っていたわけだ。

ここではごく簡単な例について等号が成り立つことを示したに過ぎないが、これがＡが何個になっても、あるいはAにどんな元が含まれていようと一般的に成り立つということはもうイメージできると思う。

あの参考書もこれぐらいかみ砕いてくれればいいんだけどね。

天才には凡人がどこでつまづきやすくどこに説明を費やせばいいのかのポイントがつかめないみたいだ。

Permalink | 記事への反応(1) | 16:48

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