位相空間を開集合族ではなく近傍系で定義する方法について説明する。定..

2024-09-27

位相空間を開集合族ではなく近傍系で定義する方法について説明する。

集合 X に対し、各点 x ∈ X に対してその点の近傍系𝒩(x) が割り当てられているとする。このとき、以下の公理が満たされるとき、これらの 𝒩(x) によって X 上に位相構造が定義される。

1. 自己包含性：任意の N ∈ 𝒩(x) に対して、x ∈ N。

2. 包含関係の保存：任意の N ∈ 𝒩(x) と N ⊆ N′ ⊆ X に対して、N′ ∈ 𝒩(x)。

3. 有限交叉性：任意の N₁, N₂ ∈ 𝒩(x) に対して、N₁ ∩ N₂ ∈ 𝒩(x)。

4. 近傍の基準：任意の N ∈ 𝒩(x) に対して、ある N′ ∈ 𝒩(x) が存在し、N′ ⊆ N かつ任意の y ∈ N′ に対して N ∈ 𝒩(y)。

この定義では、各点 x の近傍系 𝒩(x) を直接定めることで、位相空間の構造を構築する。近傍系は点ごとの局所的な性質を反映しており、これにより開集合の概念を介さずに位相的な議論が可能となる。

1. 自己包含性は、近傍がその点を必ず含むことを要求する。これは近傍の基本的な性質である。

2. 包含関係の保存は、近傍を含むより大きな集合もまた近傍であることを示す。これは近傍系が包含関係に対して上に閉じていることを意味する。

3. 有限交叉性は、有限個の近傍の共通部分も近傍であることを保証する。これにより、近傍系はフィルターの構造を持つ。

4. 近傍の基準は、任意の近傍に対してその内部に「より小さな」近傍が存在し、その近傍内の点全てが元の近傍を共有することを要求する。これは位相空間の局所的な一貫性を保証する。

近傍系から開集合系を導出することができる。具体的には、集合 U ⊆ X を開集合と定義するには、任意の点 x ∈ U に対して U ∈ 𝒩(x) が成り立つこととする。このとき、これらの開集合全体の族は位相の公理を満たす。

逆に、開集合系から近傍系を定義することも可能である。各点 x の近傍系 𝒩(x) を、x を含む開集合全体と定義すれば、公理を満たす近傍系が得られる。