「陰性証明」は(どのくらい)意味があるのか

2021-06-02

仮に毎日0.3%の人が感染し、10日間くらい他人に感染させる可能性があるとする。

ある人のある時点での感染者（かつ他人に感染させる可能性がある人）である確率は、おおよそ3%弱となる。

（正確には、10日前に感染する確率=0.3%、10日前に感染せず9日前に感染した確率=99.7%x0.3%=0.2991%、10〜9日前まで感染せず8日前に感染した確率=99.7%²x0.3%=0.2982027%……を足し上げるので、約2.96%）

それでは、ある日、感度が1/3程度、特異度が100%の検査で陰性の結果が出た場合、その人がその検査時点で感染者である確率はどの程度か。

もしもこの検査を行なった場合、97人の非感染者は陰性となり、3人の感染者のうち1名が陰性、2名が陽性となるから、検査結果が陰性だった98人のうち感染者は1名となる。

したがって、陰性証明を受けた人がその時点で感染している確率は1/98 = 約1.02%である。検査を受けていない人が感染者である確率のおよそ1/3となる。

それでは、陰性証明を受けた人が、その翌日に感染者である確率はどうか。

98人の陰性証明者のうち、97人の真の非感染者が、１日分=0.3%の確率で感染するので、新たな感染者は0.291人である。

他方、偽陰性感染者1名のうち10日前に感染した約0.101人は陰性証明翌日に回復（非感染者化）するので、偽陰性の残り人数は約0.899人である。

したがって、陰性証明の翌日は、98人の陰性証明者に対し0.291人+約0.899人=約1.19人の感染者がいると考えられるから、陰性証明を受けた者が検査翌日に感染者である確率は1.19/98=約1.21%である。

陰性証明を受けた２日後ではどうだろうか。

１日目まで感染していなかった 97人-0.291人=96.709人の非感染者が0.3%の確率で感染するので、新たな感染者は0.290127人である。

ここに、偽陰性感染者1名のうち検査 10日前に感染した0.101人と検査9日前に感染した約0.101人は回復（非感染者化）するので、偽陰性の残り人数は約0.798人である。

そうすると、98人の陰性証明者に対し検査翌日に感染した0.291人、2日目に感染した0.290127人、偽陰性だった0.798人を足した、約1.379人の感染者がいると考えられるから、陰性証明を受けた者が検査２日後に感染者である確率は1.379/98=約1.41%である。

このような形で、検査 10日後まで徐々に、陰性証明のある者が感染者である確率が、陰性証明を受けていない者が感染者である確率に接近していく。

陰性証明の当日についていえば、陰性証明のある者が実は感染者であって他人に感染させる確率は、陰性証明を受けていない者が実は感染者であって他人に感染させる確率を約３分の１にする。

したがって、たとえばもし何も手を打たなければ３０人の感染者を生むような場面で、感染者を１０人に止めることができる。つまり、実行再生産数を３分の１にする効果がある。

これがたとえば検査２日後であれば、２日前の陰性証明のある者が実は感染者であって他人に感染させる確率が、陰性証明を受けていない者のそれの約48%になる。つまり、実行再生産数を半分弱に減らす効果がある。

つまり、この例で言えば、２日以内の陰性証明と引き換えに、２倍程度の感染リスクがある行為を許容したとしても、その行為を完全に禁止した場合よりも感染拡大リスクが小さい。

他方、これが３日前の陰性証明だと禁止よりもリスクは増えるし、当日の陰性証明と引き換えに４倍程度の感染リスク行動を許容しても禁止よりもリスクは増える。

ともあれ、「陰性証明」には、ある活動の感染リスクを、検査感度に応じて減らす効果がある。ただし、その効果は検査からの経過日数に応じて減衰するし、（減衰後の）感染リスク減少効果を上回るリスク行動の免状に使ってしまった場合には感染リスクは増大する。

余談ではあるが、ある行動を許容するか否かについて、たとえばその行動の潜在的再生産数が１を超えるか否かで判断するのは合理的であろう。

たとえば同居の家族と外食をすることの潜在的再生産数は、０ではないが、おそらく１を下回るケースが多いだろう。

仮に潜在的再生産数が２であるような会食を開催する場合に、当日の陰性証明を義務付けた場合は、潜在的再生産数は0.67程度になるだろうから、これも許容できるように思われる。（会食の人数が２人なら、潜在的再生産数は常に2を下回る。）

他方、潜在的再生産数が４であるような会食の場合は、当日の陰性証明を義務付けても潜在的再生産数が1.33程度となって感染を拡大させるから、許容すべきではない。