■情報と実在の関係

基本定義

• 実在の集合 R：可能な全ての実在（可能世界）の集合。
• 情報の集合 I：可能な全ての情報の集合。
• 対応写像 φ：φ: I → 𝒫(R)、ここで 𝒫(R) は R の冪集合（部分集合全体の集合）。各情報 i ∈ I に対し、φ(i) ⊆ R はその情報と両立する実在の集合を表す。

公理

1. 実在の存在公理：R ≠ ∅。

少なくとも一つの実在が存在する。

2. 情報の非矛盾公理：任意の i ∈ I に対し、φ(i) ≠ ∅。

各情報は少なくとも一つの実在と両立する。

3. 情報の結合公理：任意の i, j ∈ I に対し、φ(i) ∩ φ(j) ≠ ∅ ならば、k ∈ I が存在して φ(k) = φ(i) ∩ φ(j)。

情報の組み合わせは、その情報に両立する実在の交わりに対応する。

4. 情報の順序公理：任意の i, j ∈ I に対し、φ(i) ⊆ φ(j) ならば、情報 i は情報 j 以上に情報的である。

より少ない実在と両立する情報は、より情報的である。

5. 矛盾の否定公理：φ(i) = ∅ となる i ∈ I は存在しない。

矛盾する情報（どの実在とも両立しない情報）は存在しない。

定義

• 情報の情報量順序：i ≤ j ⇔ φ(i) ⊆ φ(j)。

情報 i が情報 j 以上に情報的であることを表す。

• メート（最大下界）：i ∧ j を φ(i ∧ j) = φ(i) ∩ φ(j) と定義する。

定理と証明

定理1：情報状態の半順序集合

集合 (I, ≤) は半順序集合である。

証明：

• 反射性：任意の i ∈ I について、φ(i) ⊆ φ(i) なので、i ≤ i。
• 反対称性：i ≤ j かつ j ≤ i のとき、φ(i) = φ(j) なので、i = j。
• 推移性：i ≤ j かつ j ≤ k のとき、φ(i) ⊆ φ(j) ⊆ φ(k) なので、i ≤ k。

よって、(I, ≤) は半順序集合である。

定理2：情報状態のメート半束

集合 (I, ≤, ∧) はメート半束を形成する。

証明：

• メートの存在：公理3より、任意の i, j ∈ I に対し、k = i ∧ j ∈ I が存在して φ(k) = φ(i) ∩ φ(j)。
• 交換律：φ(i ∧ j) = φ(j ∧ i) なので、i ∧ j = j ∧ i。
• 結合律：i ∧ (j ∧ k) = (i ∧ j) ∧ k。
• 冪等性：i ∧ i = i。

よって、(I, ≤, ∧) はメート半束である。

定理3：情報は可能な実在を減少させる

情報を取得することは、可能な実在の集合を増加させない。

証明：

情報 i を持つエージェントの可能な実在は φ(i)。追加の情報 j を取得すると、新たな可能な実在は φ(i) ∩ φ(j) = φ(i ∧ j)。

φ(i ∧ j) ⊆ φ(i) かつ φ(i ∧ j) ⊆ φ(j) であるため、可能な実在の集合は増加しない。

定理4：矛盾した情報は存在しない

どの実在とも両立しない情報は存在しない。

証明：

公理5より、任意の i ∈ I に対し、φ(i) ≠ ∅。したがって、φ(i) は常に少なくとも一つの実在を含む。

まとめ

この公理的体系は、情報が実在の集合をどのように分割し、エージェントが情報を取得することで実在の理解をどのように精緻化するかを形式化している。定理を通じて、情報が不確実性を減少させることや、情報の情報量に基づく順序付けなど、情報の基本的な性質を示した。

Permalink | 記事への反応(1) | 05:56

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