2015-01-08

tanA ・tanB・tanC・tanD=1 (追記あり)

(追記あり)

角A,B,C,D が整数(degree,度)かつ

1°≦A≦B≦C≦D<90°で、

tanAtanB・tanC・tanD=1

を満たす組合せとして、

tan(27°)tan(33°)tan(39°)tan(75°)=1

これも条件を満たす。

が、式変形で証明できない・・・・・・

他のパターンは全部確認できたのだが、これだけ(派生含む)がわからない・・・

追記:

その後、少し調べてみて、この問題ラングレーの整四角形問題特殊例と等価であることがわかりました。

そりゃあ、初等的に求めるのが難しいパターンがいっぱいあるわけだ・・

ラングレー問題

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%95%8F%E9%A1%8C

このうち、整角四角形問題で対角線が直行しているという問題がこの問題等価ものです。

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http://anond.hatelabo.jp/20150108231313

ありがとうございます。なるほど、cos36°の値を使うところまで変形すればいいのですね。あと、分子分母の差が0であることを確認するという方針は参考になりました。

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http://anond.hatelabo.jp/20150109001103

はい自明な組み合わせ(A+D=B+C=90°で45×46÷2=1035通り)以外はその38通りです。

これは大きく3通りに分類できて、

パターン1:28通り (30-p, 30+p, 3p, 90-p)  1≦p≦29° ただしp=15°は自明パターンに含まれているので残り28通り

     これは三角関数の変換で求められます

     (ちょっとトリッキーですが、このパターンから導出できるでしょう)

パターン2:(12,24,48,84)と(6,42,66,78)の2通り。パターン1の三角関数変換を2重に適用できる特殊ケースです。

      この2つの組み合わせはtanA=1/tan(90-A)の関係に相当します。

パターン3:8通りで、計算ができなかったパターンです。どれかひとつが示せれば、パターン1の変換と90-Aの変換で全て導出できます

さあ、後はパターン3の効率的計算を試してみるかな(^^)

記事への反応 -
  • http://anond.hatelabo.jp/20150108070044

    ごりごり計算したら,確かにそうなる 参考までに: tan をぜんぶ sin/cos の形に変形してから,掛け合わせたあと 分母と分子それぞれを,和積の関係を使ってcosの多項式に変形 この答え...

  • http://anond.hatelabo.jp/20150108070044

    一般形をちょっと考えてみたが思いつかないので取り敢えず全列挙。 増田の例を含めていくつか特殊なパターンがあるんだな。気が向いたら解析的に考えてみる…。 1 1 89 89 ...

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