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はてなキーワード: 補題とは
私が黒羽刑務所で解いた、国際数学の問題は東大生なら誰でも知っている不定方程式を用いると、４で割った余りが０，３のときには実現しないことが出て来るが、余りが１，２
のときであることを支持するのに、 ４ｋ＋１→４ｋ＋２→４ｋ＋９ という完全補題を発見して証明する。しかし、完全補題は、要点補題、簡潔補題に比較して、ものを発見することが
非常に難しく、鋭利かつ飛躍的な内容を含む。 4k＋１→４ｋ＋２は非常に鋭利であり、 ４ｋ＋１→４ｋ＋９は飛躍的であるし、対応する証明も専門的になって知能指数は
要らないが込み入った論証となる。完全補題はそれこそ、円のように完全なものであるから、発見できる者はまれである。 補題を用いた証明技術も、技術である。 これに対して、連結支配集合
を用いる場合もあるが、連結支配集合は、情報科学の分野で取り上げられるもので、特に教員から習って訓練を受けていないとそれを用いることは難しい。
連結支配集合は、 誘導部分のグラフが連結しているときに、いう
民事訴訟法８２条１項は、裁判所は、救助の決定をしなければならない、と定めているが、お前がそう書いたことはどうでもいい。問題は、民事訴訟法の体系にこれを設定するための
証明はされているかどうかが問題である。同法８２条１項本文を読むだけでは、その性質を判定することは困難である。なぜなら、８２条１項本文はさして驚愕に値するような規定ではない
からである。８２条１項および２項は、民事訴訟の本案判決に至るまでの経過的な規定であって、数学で言えば、補題である。補題は定理と違い、驚愕的である必要があるかどうか分から
ない。なぜなら補題程度であれば、国際数学の半分が人が解ける問題でも出て来るからである。補題の設定証明が著しく難しいならば、国際数学の易問すら誰も解けないことになる。従って
民訴法８２条１項２項はあまり魅力的な規定ではない。法８２条１項２項には精神があるとされるが、民訴法の目的は、民事手続きの簡易迅速な処理であるとされている。しかし、民事
手続の簡易迅速な処理という法目的と精神からは、８２条１項２項の規定は出て来ないので、８２条１項２項の背景には、憲法２５条の福祉国家の精神があるのではないかと推測されて
いる。民事訴訟法といえども、法目的だけから出来ているわけではなく、憲法の条文の精神に由来するものもある可能性がある。
第82条
訴訟の準備及び追行に必要な費用を支払う資力がない者又はその支払により生活に著しい支障を生ずる者に対しては、裁判所は、申立てにより、訴訟上の救助の決定をすることができる。ただし、勝訴の見込みがないとはいえないときに限る。
訴訟上の救助の決定は、審級ごとにする。
戦後２，３０年の裁判官は、実力者で、 法学に技術を裁判中に自分で編み出していたというように、法学はすぐれて専門技術的なので、立花孝志がいうように、
反訴原告の取り下げというのは裁判のテクニックであるらしい。しかし、 そんなテクニックは誰も知らないのである。 そんなら今の状況で自分で数学の解き方を編み出せるかといったら
編み出せるわけがないのである。私の経験だがこの東京をもってしても、そういうガチ勢みたいなものはいないように思う。 自分で編み出したのではなく知っていて使っている者は
舟渡の工場の中で働いているのを発見したことがあるが、自分で楽しそうに発見するとか編み出したという人は見たことがない。要するに自分で編み出していないから楽しくないのだと思う
（グフフ）
公共社会の中における存在としてはまた、これは補題みたいなもので、簡単に作ってから、公共の福祉を増進するためにあるようにみえる。自動車がである。一戸建てやマンションもそのように
みえる。 しかし、一戸建てがマンションが、 完全無欠な有名定理ではなく、補題であるとすると、大したものではないということになる。これに対して、志村健康福祉センターとか、板橋区役所
のレベルになると、補題ではないような気がする。公共社会の中心にあって完全無欠な機能を果たしているように思う。しかしこれは私の感想で、専門的に、それらが公共社会においてどのような
まずお前が馬鹿であることを証明するために様々な専門知識を集めて、その次に理由を構成しなければならないと思う。民事訴訟法の規定は他の法律もそうであるが、一般に
精神と文言があるというが、判例によっては、精神ではなく、目的であると書いている場合もある。立法が技術にあたるので、しかし、民訴法８２条１項がどのような技術によって出来ているか
といっても、そういうことを解説している本は、コメンタールとか霞が関の書籍にいかないとインターネットを検索したくらいでは書いてないので調べようがない。個別の条文の技術的裏付けも
ないような状況で、誰がそれを使うのか。数学では、証明の途中に出て来る補題、有名な教科書の定理には簡単な証明がついている。
哲学では、知能、精神力を使うことで円滑に計算する、もしくは、小さい問題から次第に解決して、理想とする大きな問題を解決しなければならない。しかし、３階のぶちんぶちんが
合鍵をもっているか、消防士が器具を使って部屋に入ってくる、寝ている間に人工知能と無線で強制的に夢をみさせられるという偽計に対しては、一般人は、有形力でこれを排除できないし、
現に排除できていないのであるから、暴力や威迫にわたらない警察官の公務に対する威力業務妨害は成立しない、という、昭和６２年最高裁決定は、もりわきのままが、マンションの６階から
行う、人工知能と無線を用いた偽計業務妨害の場合には、その趣旨が及ばないというべきである。よって、もりわきのままが、マンションの６階から、無線やインターネットへの書き込みを用いて
行う偽計に対しては、平成１２年最高裁決定等がいうところの、警察官の公務に対しては業務妨害罪の適用はない、という解釈は及ばないというべきである。よって、本件のもりわきらがしている
数学上の論理的矛盾には次のような種類のものがあって、その具体的みたいなものを書いたらこうである。
公理的矛盾： そもそも世界と分野が違うので意味が分からない。 これを利用した証明方法を、 背理法という。
弱い論理的矛盾： 単に計算などを間違えていること。間違えているから理解できない。
強い論理的矛盾： 補題を設定していないか技術を用いていないから論理がつながっていない箇所があること。話になっていないから理解できない。
最終的な強い論理的矛盾は、技術的に出すべきものを出していないからものが作れていないことである。またはそもそも、ものになっていないこと自体。
警察がクズなのは簡単で、実際に、女性や子供に対して、 びっくりするように出て来るものが魅力的な証明ですよ、と口で説明すればいいのに、口で説明することはなく、企業秘密を
ばらすときには、田辺のように、本当に出てきて脅かす。何がしたいのか？
線形計画法は、私が受験した２００３年の東大文系理系の共通問題、２０１３年の問題にも出ている。線形計画法というのは、平面上の方程式で囲まれる部分を条件として把握し、
関数がそこを通るときに変数が動き、その接点で最大最小を取るという理論であり、 ２００２年に、北予備の里見先生が、 最近は、線形計画法が流行っているという授業を行い、
東京大学の入試では、 ２００６年理系から、 難しい補題を要する問題が出ているが、その補題は、設問（２）に結論が書いており、受験生には、それを簡単に証明して、
（３）に行くように指示している。 一件記録を検討しても、東京大学で、技術的に高度な問題が出た形跡はない。
右田明子は、２００３年に文Ⅰに受かっているので、 数学の （１）積分（２）線形計画法（３）数列（４）確率、を解いたはずだが、 順に、異常に計算量が多い、
間違ってないな 黒羽で解いた問題は 不定方程式という専門知識に持ち込んでそこから、 4p+1 4p+2 のかたちをした整数であるというふうに、専門知識から結論を決定できる
しかし、証明となると、超絶に難しい。 補題と呼ばれる驚愕的なものを発見してはめ込むことで完成するか、
刑法の詐欺罪の未遂の規定は、 未遂は罰する、と書いているだけだから、これは、比喩的にいえば、 簡潔すぎる補題のようなもので、作って使うものではない。
法律は、法的安定性を目的とする技術によって構成されたもの全体なので、 未遂は罰する という規定は、異常に簡潔な種類の規定であって、国民に示しているだけである。
土屋大気とか、大塚は、検事だから、検察官としての事務処理上の、 テクニックを使うが、 立法者はもっと幾何学的なテクニックで立法する
テクニックというのは土屋が工場で習った奴だから、嘘だしないし、 前橋地検で何を言っていたかと言うと、 嫌だから止めた、検事を止める、と言った後に弁護士になったらしいが、
私が読みたいのは、大きな物語というか、今までに見たことのない驚きのある結論を持つ物語であり、
SFというジャンルが好きなのも、物語のフレームとして、そうした驚きある結論へのシラバスとなりやすいからというだけ。
だから、そこに登場する仰々しいギミックには、そうした結論への素材以上の興味が持てない。
それは、大きな定理を導く一過程にしか過ぎず、その導出の自然さに納得したら、あとは忘れてしまうようなもの。
だから、数学書はなるべく短い方が読みやすいように、SFも「オッカムの剃刀」的に、ギミックは少ない方がむしろ好み。
同じ結論をもたらす物語なら、ギミックが少ない物語の方が読みやすいわけであり、個人的には素晴らしいSFだと感じる。
あと、キャラクターについてもそう。
大きな物語のためなら、別にキャラクターはどんな目に合っても構わないと思っている。
（それは逆に、物語にコミットしないキャラクターの悲哀は描かない方がよいと個人的には思っている、ということでもある。）
キャラクターは、驚きある結論に仕える舞台装置としか思えないので、先の仰々しいギミックと同じ意味で、興味が持てない。
ギミックもキャラクターも、面白い物語を成立させるための具材でしかないと、個人的には思ってしまう。
それゆえ、自分でもこうして、増田などに自分で考えた文章を多々投じているのだが、毎回、ギミックやキャラクターが無い文章を書いているなぁと思う。
ただ、それでもある程度はブックマークしてもらえるので、そこを見直そうという意欲は薄いのだが、
そこを押さえたら、もっと幅広い人に読んでもらえる文章になるんだろうなとは思う。
なので、今年はギミックやキャラクターに舞台装置以上の興味（好奇心や愛情というのか）を持って、文章を読んでいきたい今日このごろ。
いつかは、こういう散文でなく、流れある小説を書いてみたいと思うので、そういうところも押さえいくようにしたい。
| 時間 | 記事数 | 文字数 | 文字数平均 | 文字数中央値 |
|---|---|---|---|---|
| 00 | 157 | 22540 | 143.6 | 41 |
| 01 | 69 | 8871 | 128.6 | 43 |
| 02 | 39 | 16195 | 415.3 | 180 |
| 03 | 38 | 6132 | 161.4 | 41.5 |
| 04 | 48 | 4772 | 99.4 | 42 |
| 05 | 36 | 1861 | 51.7 | 37 |
| 06 | 38 | 2443 | 64.3 | 27 |
| 07 | 70 | 5429 | 77.6 | 31.5 |
| 08 | 118 | 15046 | 127.5 | 51.5 |
| 09 | 116 | 16348 | 140.9 | 67 |
| 10 | 220 | 49872 | 226.7 | 37.5 |
| 11 | 322 | 23288 | 72.3 | 40 |
| 12 | 255 | 22435 | 88.0 | 41 |
| 13 | 227 | 20991 | 92.5 | 39 |
| 14 | 248 | 23196 | 93.5 | 45.5 |
| 15 | 256 | 17735 | 69.3 | 38 |
| 16 | 226 | 30765 | 136.1 | 45 |
| 17 | 214 | 16339 | 76.4 | 40 |
| 18 | 121 | 15397 | 127.2 | 45 |
| 19 | 139 | 14719 | 105.9 | 46 |
| 20 | 133 | 22674 | 170.5 | 58 |
| 21 | 230 | 30107 | 130.9 | 37.5 |
| 22 | 207 | 12356 | 59.7 | 32 |
| 23 | 174 | 21518 | 123.7 | 44 |
| 1日 | 3701 | 421029 | 113.8 | 42 |
のぶみ(32), Quick Japan(7), 村上清(4), 村崎百郎(5), 補題(3), 4分間(3), よしゃ(3), 根本敬(5), クイックジャパン(8), ルック(74), 米子(3), 田辺(3), ウェルテル(3), 小山田(127), 小山田圭吾(66), 統合失調症(76), バック(74), 辞任(34), カルチャー(25), 統失(23), キャンセル(38), いじめる(17), いじめ(152), イジメ(37), 犯人(40), 五輪(67), 加害者(43), 小(32), 糖質(21), 被害妄想(14), オリンピック(98), 障害者(44), 雑誌(29), 正義(49), 反省(34), 描写(31)
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https://twitter.com/mathmatsuri
問3
エクセルで計算させたい衝動を抑えつつ、出題者に指示されるがままにTn(x)について考えてみる。
T1(x)=x
T3(x)=4x^3-3x
T4(x)=2(2x^2-1)^2-1=8x^4-8x^2+1
法則が見えてくるだろうか。自信がなければ気が済むまで計算すればよいのだろうが、
・Tn(x)の次数はnに等しい
・最高次数の係数は2^(n-1)
・nと偶奇が一致しない次数の係数は0(項は1次飛ばしで登場する)
Πに慣れていないとKの式にビビるかもしれないが、下の説明の通りにk=1～40を代入すると
K=cos(π/79)cos(3π/79)cos(5π/79)…cos(77π/79)cos(79π/79)とわかる。 …①
さてTn(x)を利用するとして、右辺はT1(x)T3(x)T5(x)…T77(x)T79(x)にx=cos(π/79)を代入したものに等しいけれど、さすがに厳しそう。1+3+…+77+79=1600次の整式を取り扱うのは狂気だし、xもよくわからない値だし。
nを一つだけ選ぶとしていくつにすればよさそうか。まず思いつくのは79だろう。
上で推測した性質からT79(x)=2^78x^79+?x^77+…+?x^3+?xとなりそう。 …②
x=cos(π/79)を代入すると左辺はT79(cos(π/79))=cos(79π/79)=-1となる。
もしや…
x=cos(3π/79)を代入すると左辺はT79(cos(3π/79))=cos(79*3π/79)=-1となる。
x=cos(5π/79)を代入すると左辺はT79(cos(5π/79))=cos(79*5π/79)=-1となる。
・
・
・
x=cos(79π/79)を代入すると左辺はT79(cos(79π/79))=cos(79*79π/79)=-1となる。
つまりT79(x)=-1の解がx=cos(π/79), cos(3π/79), cos(5π/79), …, cos(77π/79), cos(79π/79)となることがわかる。解の個数は40個。
y=T79(x)は-1≤x≤1の範囲で極大値1と極小値-1を交互に取っていくので、これとy=-1の交点を考えるとx=cos(π/79), cos(3π/79), cos(5π/79), …, cos(77π/79)は二重解となることがわかる。x=cos(79π/79)だけは一重解。
参考：y=T5(x)のグラフ。これとy=-1はx=cos(π/5), cos(3π/5)で接してx=cos(5π/5)で交わる。
https://twitter.com/totsuration/status/1301359506748633089
つまり二重解を解2つとカウントすると解の個数は79個。②が正しいとすればT79(x)は79次式なのでT79(x)+1=k(x-cos(π/79))^2(x-cos(3π/79))^2(x-cos(5π/79))^2…(x-cos(77π/79))^2(x-cos(79π/79))と因数分解できる。x^79の係数を比較してk=2^78。
①の形が現れたことに気づいただろうか。そう、定数項を比較すればよい。1=-2^78cos^2(π/79)cos^2(3π/79)cos^2(5π/79)…cos^2(77π/79)cos(79π/79)である。
右辺はK^2/cos(79π/79)=-Kに等しいので1=2^78 K^2よりK=-2^(-39)とわかった。
[|log2|K||]=39
終了！…ではない。②で使用した冒頭のTn(x)の性質3項目(補題)を示す必要がある。漸化式→帰納法に持ち込めれば楽そう。加法定理の公式を考えると2項間の漸化式は難しそうなので3項間の漸化式を求める。
cos(n+2)θ+cos(nθ)=2cos(n+1)θcosθなので
T1(x)=x
でありn=1,2で
・Tn(x)の次数はnに等しい
・最高次数の係数は2^(n-1)
・nと偶奇が一致しない次数の係数は0
は満たされる。
n=k+2においてT(k+2)(x)=2xT(k+1)(x)-Tk(x)も
・次数はk+2に等しい
・最高次数の係数は2^(k+1)
・k+2と偶奇が一致しない次数の係数は0
が言える。
[|log2|K||]=39
『数学ガール ガロア理論』の第10章(最終章)がそれまでの章に比べて難しくて挫折するという感想がけっこうあるようなので、その補足的な解説を試みます。『ガロア理論』第10章はガロアの第一論文を解説しているので、解説の解説ということになります。
と進んでいきますが、ミルカさんはその途中で何度も、ガロアの第一論文のテーマが「方程式が代数的に解ける必要十分条件」であることを確認します。
なぜ何度も確認するかといえば、最後の定理5(方程式が代数的に解ける必要十分条件)以外は、一見したところでは「方程式の可解性」に関わることが見て取れないので、途中で確認を入れないと簡単に道に迷ってしまうからでしょう。定理2(≪方程式のガロア群≫の縮小)や定理3(補助方程式のすべての根の添加)は、目的の方程式を解くときに利用する補助方程式に関わる話ですが、やはり定理を見ただけでは「方程式の可解性」との繋がりはよく見えません。
そこで逆に、いったん「方程式の可解性」の話から離れて定理5を除外して、それ以外だけに注目します。
「方程式の可解性」から離れて見たとき、定理1から定理4までで何をやっているかというと、
ということ(ガロア対応と呼ばれます)を示しています。ミルカさんの言葉を使えば(p.362)、体と群の二つの世界に橋を架けています。
この体と群の対応関係を図で見ると、10.6節「二つの塔」の図(p.413、p.415、p.418)、あるいは
http://hooktail.sub.jp/algebra/SymmetricEquation/Joh-GaloisEx31.gif
http://f.hatena.ne.jp/lemniscus/20130318155010
のようになります(この体と群の対応関係は常に成り立つわけではなく、第8章「塔を立てる」で説明された「正規拡大」のときに成り立ちます)。
体と群に対応関係があること(定理1～定理4)を踏まえて、定理5を見ます。
「方程式を代数的に解く」というのは「体の拡大」に関係する話です。
「方程式の係数体から最小分解体まで、冪根の添加でたどりつくことが、方程式を代数的に解くことなのだ」
(第7章「ラグランジュ・リゾルベントの秘密」p.254)(ただし、必要なだけの1のn乗根を係数体が含んでいるという条件のもとで)
そこから、「体と群の対応」を利用して、方程式の解の置き換えに関する「群」の話に持っていくのが、定理5になるわけです(なお「方程式を解くこと」と「解の置き換え」が関係していることは、すでに第7章に現れていました)。
「≪群を調べる≫って≪体を調べる≫よりも(...)」
ここまでの話で、定理4までで行いたいことが「≪体の世界≫と≪群の世界≫の対応関係」だということが分かりました。
しかしこの対応を示すためには、まず、この対応関係における≪群の世界≫というのがいったい何なのかをきちんと定義しないといけません。
≪体の世界≫というのは「体の拡大」で、これは8章「塔を立てる」で説明されています。
一方、その「体の拡大」に対応する「群」は「方程式の解の置き換え方の可能な全パターン」なのですが、これが正確にどんなものなのかは10章以前には定義されていません。
(以下、4次方程式の例をいくつかあげますが、面倒なら流し読みでさらっと進んでください)
たとえば一般3次方程式では、解α、β、γの置き換え方は全部で6通り(3×2×1)あります(第7章p.252)。同様に考えると、一般4次方程式では、解α、β、γ、δの置き換え方は全部で24通り(4×3×2×1)あることが分かります。
ところが、x4+x3+x2+x+1=0という4次方程式を考えてみます。これは5次の円分方程式です(第4章「あなたとくびきをともにして」)。
x5-1 = (x-1)(x4+x3+x2+x+1)なので、この方程式の解α、β、γ、δは1の5乗根のうちの1以外のものだと分かります。したがって、解の順番を適当に選ぶとβ=α2、γ=α3、δ=α4という関係が成り立ちます。
これについての解の置き換え方を考えると、αを、α、β、γ、δのうちのどれに置き換えるかを決めると、それに連動して、β、γ、δがどの解に置き換わるかも自動的に決まってしまいます。たとえばαをβ(=α2)に置き換えると、(β、γ、δ)=(α2、α3、α4)は、
(β、γ、δ) = (α2、α3、α4)
↓ αをβに置き換える
(β2、β3、β4) = ((α2)2、(α2)3、(α2)4) = (α4、α6、α8) = (α4、α1、α3) = (δ、α、γ)
となるので、
(α、β、γ、δ) → (β、δ、α、γ)
のように置き換わります。αの置き換え方は4通り(α、β、γ、δの4つ)なので、この4次方程式x4+x3+x2+x+1=0の解の置き換え方は次の4通りとなります。
(α、β、γ、δ) → (α、β、γ、δ) = (α、α2、α3、α4)
(α、β、γ、δ) → (β、δ、α、γ) = (α2、α4、α6、α8)
(α、β、γ、δ) → (γ、α、δ、β) = (α3、α6、α9、α12)
(α、β、γ、δ) → (δ、γ、β、α) = (α4、α8、α12、α16)
あるいはx4-5x2+6=(x2-2)(x2-3)=0 という方程式を考えます。解は√2、-√2、√3、-√3の4つですが、この場合「√2と-√2の置き換え」や「√3と-√3の置き換え」は許されますが、「√2と√3の置き換え」は許されません。
なぜかというと、(√2)2 -2 = 0、という式を考えると分かります。この式で√2を√3に置き換えると、左辺は(√3)2 -2 = 1となり、一方、右辺は0のままです。このような等式を破壊してしまうような解の置き換え方は認められません。そのため、可能な解の置き換え方は4通りになります。ただし、4通りの置き換え方のパターン(解の置き換えの「群」)は、5次円分方程式のときの4通りの置き換えパターンとは異なっています。(α、β、γ、δ) = (√2、-√2、√3、-√3)と置くと、可能な置き換え方は
(α、β、γ、δ) → (α、β、γ、δ) = ( √2、-√2、 √3、-√3)
(α、β、γ、δ) → (β、α、γ、δ) = (-√2、 √2、 √3、-√3)
(α、β、γ、δ) → (α、β、δ、γ) = ( √2、-√2、-√3、 √3)
(α、β、γ、δ) → (β、α、δ、γ) = (-√2、 √2、-√3、 √3)
となります。
では、「認められる置き換え方」であるためにはどのような条件を満たす必要があるのかというと、それは
というものです。つまり解θの最小多項式をf(x)とすると、解の置き換えをしたときに、θはf(x)の根θ1、...、θnのどれか(この中にはθ自身も入っています)に移らなければなりません。この条件を満たしていれば、等式に対して解の置き換えをおこなっても、等式が破壊されることはありません。
解の置き換えであるための必要条件が出ましたが、この条件だけではx4+x3+x2+x+1=0のときのような、解の置き換えで複数の解の動きが連動しているような場合をどう考えればいいのかは、まだ分かりません。x4+x3+x2+x+1=0のときは一つの解の動きを決めれば他の解の動きが決まりましたが、方程式によっては解の間の関係はもっとずっと複雑にもなりえます。
しかしそれは、たくさんの解を一度に考えるから解の間の関係が複雑になって混乱するのです。
もしもx4+x3+x2+x+1=0のときの解αのように、ただ一つの解の動きだけを考えて全ての置き換えが決まってしまうならば、話はずっと簡単になります。
そして、その「一つの解の動きだけを考える」ようにしているのが、
です。
体に注意を向けたほうがいい。添加体を考えれば、補題3の主張は一行で書ける」
K(α1、α2、α3、...、αm) = K(V)
これによって、「解α1、α2、α3、...、αmの置き換え」ではなく、ただひとつの「Vの置き換え」だけを考えればいいことになります。
これと、解の置き換えの必要条件「解の置き換えをおこなったとき、解は、共役元のどれかに移らなければならない」を合わせると、「解の置き換え方の可能な全パターン」とは、「Vから、Vの共役への置き換えのうちで、可能なものすべて」となります。
そして補題4(Vの共役)は、「Vの(共役への)置き換え」をすると、もとの多項式f(x)の根α1、α2、α3、...、αmの間の置き換えが発生するという性質を述べています。つまり「Vの置き換え」によって「方程式f(x)=0の解の、可能な置き換えが実現される」わけです。
この考えにもとづいて「解の置き換えの群」を定義しているのが、定理1(≪方程式のガロア群≫の定義)の説明の途中の、10.4.4節「ガロア群の作り方」です。
(ガロアは正規拡大の場合にだけ「解の置き換えの群」を定義したので、正規拡大のときの「解の置き換えの群」を「ガロア群」と呼びます)
前節で、証明のかなめとなるVと「解の置き換えの群」が定義されました。Vの最小多項式fV(x)の次数をnとすると、次が成り立ちます(最小多項式は既約で、既約多項式は重根を持たないので、Vの共役の個数は最小多項式の次数nと一致することに注意する)。
※1 考えている体K(V)に含まれない数へのVの置き換えは「解の置き換え」には認められないので、「解の置き換え方の個数」と「共役の個数」は一致するとは限りません。
※2 「最小多項式」は8.2.8節「Q(√2+√3)/Q」と8.2.9節「最小多項式」で説明されていますが、最小多項式が既約であることと一意に決まること(8.2.9節p.282)は、定義(可約と既約)と補題1(既約多項式の性質)から証明されます。
そして、
したがって正規拡大のときには、
という等式が成り立ちます。この関係が「体と群の対応」の第一歩目になります。
ことを主張しています。
そして定理2(≪方程式のガロア群≫の縮小)と定理4(縮小したガロア群の性質)で、
ことを主張しています。
ことを主張しています。
このように定理1、定理2、定理3、定理4によって、体と群の対応が示されます。
方程式が代数的に(つまり冪乗根によって)解けるかという問題は
と言い換えられます。そして、
ので、「適切な冪乗根が存在するか」という問題は「適切な正規拡大が存在するか」という問題になり、体と群の対応により
という問題になります。この「適切な正規部分群があるかどうか」をもっと詳しく正確に述べたのが定理5です。
それでは改めて第10章を読んでいきましょう。
(追記: 数式の間違いの指摘ありがとうございます。訂正しました)
第1章 有限オートマトン D.Perrin：橋口攻三郎 1. 序論 2. 有限オートマトンと認識可能集合 3. 有理表現 4. Kleeneの定理 5. 星の高さ 6. 星自由集合 7. 特殊なオートマトン 8. 数の認識可能集合 第2章 文脈自由言語 J.Berstel and L.Boasson：富田 悦次 1. 序論 2. 言語 2.1 記法と例 2.2 Hotz 群 2.3 曖昧性と超越性 3. 反復 3.1 反復補題 3.2 交換補題 3.3 退化 4. 非生成元の探求 4.1 準備 4.2 生成元 4.3 非生成元と代入 4.4 非生成元と決定性 4.5 主錐の共通部分 5. 文脈自由群 5.1 文脈自由群 5.2 Cayleyグラフ 5.3 終端 第3章 形式言語とべき級数 A.Salomaa：河原 康雄 1. 序論 2. 準備 3. 書換え系と文法 4. Post正準系 5. Markov系 6. 並列書換え系 7. 射と言語 8. 有理べき級数 9. 代数的べき級数 10. べき級数の応用 第4章 無限の対象上のオートマトン W.Thomas：山崎 秀記 序論 Ⅰ部 無限語上のオートマトン 記法 1. Buchiオートマトン 2. 合同関係と補集合演算 3. 列計算 4. 決定性とMcNaughtonの定理 5. 受理条件とBorelクラス 6. スター自由ω言語と時制論理 7. 文脈自由ω言語 Ⅱ部 無限木上のオートマトン 記法 8. 木オートマトン 9. 空問題と正則木 10. 補集合演算とゲームの決定性 11. 木の単項理論と決定問題 12. Rabin認識可能な集合の分類 12.1 制限された単項2階論理 12.2 Rabin木オートマトンにおける制限 12.3 不動点計算 第5章 グラフ書換え：代数的・論理的アプローチ B.Courcelle：會澤 邦夫 1. 序論 2. 論理言語とグラフの性質 2.1 単純有向グラフの類S 2.2 グラフの類D(A) 2.3 グラフの性質 2.4 1階のグラフの性質 2.5 単項2階のグラフの性質 2.6 2階のグラフの性質 2.7 定理 3. グラフ演算とグラフの表現 3.1 源点付きグラフ 3.2 源点付き超グラフ 3.3 超グラフ上の演算 3.4 超グラフの幅 3.5 導来演算 3.6 超辺置換 3.7 圏における書換え規則 3.8 超グラフ書換え規則 4. 超グラフの文脈自由集合 4.1 超辺置換文法 4.2 HR文法に伴う正規木文法 4.3 超グラフの等式集合 4.4 超グラフの文脈自由集合の性質 5. 超グラフの文脈自由集合の論理的性質 5.1 述語の帰納的集合 5.2 論理構造としての超グラフ 5.3 有限超グラフの可認識集合 6. 禁止小グラフで定義される有限グラフの集合 6.1 小グラフ包含 6.2 木幅と木分解 6.3 比較図 7. 計算量の問題 8. 無限超グラフ 8.1 無限超グラフ表現 8.2 無限超グラフの単項性質 8.3 超グラフにおける等式系 8.4 関手の初期不動点 8.5 超グラフにおける等式系の初期解 8.6 等式的超グラフの単項性質 第6章 書換え系 N.Dershowitz and J.-P.Jouannaud：稲垣 康善，直井 徹 1. 序論 2. 構文論 2.1 項 2.2 等式 2.3 書換え規則 2.4 決定手続き 2.5 書換え系の拡張 3. 意味論 3.1 代数 3.2 始代数 3.3 計算可能代数 4. Church-Rosser性 4.1 合流性 4.2 調和性 5. 停止性 5.1 簡約順序 5.2 単純化順序 5.3 経路順序 5.4 書換え系の組合せ 6. 充足可能性 6.1 構文論的単一化 6.2 意味論的単一化 6.3 ナローイング 7. 危険対 7.1 項書換え 7.2 直交書換え系 7.3 類書換え 7.4 順序付き書換え 7.5 既約な書換え系 8. 完備化 8.1 抽象完備化 8.2 公平性 8.3 完備化の拡張 8.4 順序付き書換え 8.5 機能的定理証明 8.6 1階述語論理の定理証明 9. 書換え概念の拡張 9.1 順序ソート書換え 9.2 条件付き書換え 9.3 優先度付き書換え 9.4 グラフ書換え 第7章 関数型プログラミングとラムダ計算 H.P.Barendregt：横内 寛文 1. 関数型計算モデル 2. ラムダ計算 2.1 変換 2.2 計算可能関数の表現 3. 意味論 3.1 操作的意味論：簡約と戦略 3.2 表示的意味論：ラムダモデル 4. 言語の拡張 4.1 デルタ規則 4.2 型 5. 組合せ子論理と実装手法 5.1 組合せ子論理 5.2 実装の問題 第8章 プログラミング言語における型理論 J.C.Mitchell：林 晋 1. 序論 1.1 概論 1.2 純粋および応用ラムダ計算 2. 関数の型をもつ型付きラムダ計算 2.1 型 2.2 項 2.3 証明系 2.4 意味論と健全性 2.5 再帰的関数論的モデル 2.6 領域理論的モデル 2.7 カルテシアン閉圏 2.8 Kripkeラムダモデル 3. 論理的関係 3.1 はじめに 3.2 作用的構造上の論理的関係 3.3 論理的部分関数と論理的同値関係 3.4 証明論的応用 3.5 表現独立性 3.6 論理的関係の変種 4. 多相型入門 4.1 引数としての型 4.2 可述的な多相的計算系 4.3 非可述的な多相型 4.4 データ抽象と存在型 4.5 型推論入門 4.6 型変数をもつλ→の型推論 4.7 多相的宣言の型推論 4.8 他の型概念 第9章 帰納的な関数型プログラム図式 B.Courcelle：深澤 良彰 1. 序論 2. 準備としての例 3. 基本的な定義 3.1 多ソート代数 3.2 帰納的な関数型プログラム図式 3.3 同値な図式 4. 離散的解釈における操作的意味論 4.1 部分関数と平板な半順序 4.2 離散的解釈 4.3 書換えによる評価 4.4 意味写像 4.5 計算規則 5. 連続的解釈における操作的意味論 5.1 連続代数としての解釈 5.2 有限の極大要素と停止した計算 6. 解釈のクラス 6.1 汎用の解釈 6.2 代表解釈 6.3 解釈の方程式的クラス 6.4 解釈の代数的クラス 7. 最小不動点意味論 7.1 最小で唯一の解を得る不動点理論 7.2 Scottの帰納原理 7.3 Kleeneの列と打切り帰納法 8. プログラム図式の変換 8.1 プログラム図式における同値性の推論 8.2 畳込み，展開，書換え 8.3 制限された畳込み展開 9. 研究の歴史，他の形式のプログラム図式，文献ガイド 9.1 流れ図 9.2 固定された条件をもつ一様な帰納的関数型プログラム図式 9.3 多様な帰納的関数型プログラム図式 9.4 代数的理論 9.5 プログラムの生成と検証に対する応用 第10章 論理プログラミング K.R.Apt：筧 捷彦 1. 序論 1.1 背景 1.2 論文の構成 2. 構文と証明論 2.1 1階言語 2.2 論理プログラム 2.3 代入 2.4 単一化子 2.5 計算過程―SLD溶融 2.6 例 2.7 SLD導出の特性 2.8 反駁手続き―SLD木 3. 意味論 3.1 1階論理の意味論 3.2 SLD溶融の安全性 3.3 Herbrand模型 3.4 直接帰結演算子 3.5 演算子とその不動点 3.6 最小Herbrand模型 3.7 SLD溶融の完全性 3.8 正解代入 3.9 SLD溶融の強安全性 3.10 手続き的解釈と宣言的解釈 4. 計算力 4.1 計算力と定義力 4.2 ULの枚挙可能性 4.3 帰納的関数 4.4 帰納的関数の計算力 4.5 TFの閉包順序数 5. 否定情報 5.1 非単調推論 5.2 閉世界仮説 5.3 失敗即否定規則 5.4 有限的失敗の特徴付け 5.5 プログラムの完備化 5.6 完備化の模型 5.7 失敗即否定規則の安全性 5.8 失敗即否定規則の完全性 5.9 等号公理と恒等 5.10 まとめ 6. 一般目標 6.1 SLDNF-溶融 6.2 SLDNF-導出の安全性 6.3 はまり 6.4 SLDNF-溶融の限定的な完全性 6.5 許容性 7. 層状プログラム 7.1 準備 7.2 層別 7.3 非単調演算子とその不動点 7.4 層状プログラムの意味論 7.5 完全模型意味論 8. 関連事項 8.1 一般プログラム 8.2 他の方法 8.3 演繹的データベース 8.4 PROLOG 8.5 論理プログラミングと関数プログラミングの統合 8.6 人工知能への応用 第11章 表示的意味論 P.D.Mosses：山田 眞市 1. 序論 2. 構文論 2.1 具象構文論 2.2 抽象構文 2.3 文脈依存構文 3. 意味論 3.1 表示的意味論 3.2 意味関数 3.3 記法の慣例 4. 領域 4.1 領域の構造 4.2 領域の記法 4.3 記法上の約束事 5. 意味の記述法 5.1 リテラル 5.2 式 5.3 定数宣言 5.4 関数の抽象 5.5 変数宣言 5.6 文 5.7 手続き抽象 5.8 プログラム 5.9 非決定性 5.10 並行性 6. 文献ノート 6.1 発展 6.2 解説 6.3 変形 第12章 意味領域 C.A.Gunter and D.S.Scott：山田 眞市 1. 序論 2. 関数の帰納的定義 2.1 cpoと不動点定理 2.2 不動点定理の応用 2.3 一様性 3. エフェクティブに表現した領域 3.1 正規部分posetと射影 3.2 エフェクティブに表現した領域 4. 作用素と関数 4.1 積 4.2 Churchのラムダ記法 4.3 破砕積 4.4 和と引上げ 4.5 同形と閉包性 5. べき領域 5.1 直観的説明 5.2 形式的定義 5.3 普遍性と閉包性 6. 双有限領域 6.1 Poltkin順序 6.2 閉包性 7. 領域の帰納的定義 7.1 閉包を使う領域方程式の解法 7.2 無型ラムダ記法のモデル 7.3 射影を使う領域方程式の解法 7.4 双有限領域上の作用素の表現 第13章 代数的仕様 M.Wirsing：稲垣 康善，坂部 俊樹 1. 序論 2. 抽象データ型 2.1 シグニチャと項 2.2 代数と計算構造 2.3 抽象データ型 2.4 抽象データ型の計算可能性 3. 代数的仕様 3.1 論理式と理論 3.2 代数的仕様とその意味論 3.3 他の意味論的理解 4. 単純仕様 4.1 束と存在定理 4.2 単純仕様の表現能力 5. 隠蔽関数と構成子をもつ仕様 5.1 構文と意味論 5.2 束と存在定理 5.3 隠蔽記号と構成子をもつ仕様の表現能力 5.4 階層的仕様 6. 構造化仕様 6.1 構造化仕様の意味論 6.2 隠蔽関数のない構造化仕様 6.3 構成演算 6.4 拡張 6.5 観測的抽象化 6.6 構造化仕様の代数 7. パラメータ化仕様 7.1 型付きラムダ計算によるアプローチ 7.2 プッシュアウトアプローチ 8. 実現 8.1 詳細化による実現 8.2 他の実現概念 8.3 パラメータ化された構成子実現と抽象化子実現 8.4 実行可能仕様 9. 仕様記述言語 9.1 CLEAR 9.2 OBJ2 9.3 ASL 9.4 Larch 9.5 その他の仕様記述言語 第14章 プログラムの論理 D.Kozen and J.Tiuryn：西村 泰一，近藤 通朗 1. 序論 1.1 状態，入出力関係，軌跡 1.2 外的論理，内的論理 1.3 歴史ノート 2. 命題動的論理 2.1 基本的定義 2.2 PDLに対する演繹体系 2.3 基本的性質 2.4 有限モデル特性 2.5 演繹的完全性 2.6 PDLの充足可能性問題の計算量 2.7 PDLの変形種 3. 1階の動的論理 3.1 構文論 3.2 意味論 3.3 計算量 3.4 演繹体系 3.5 表現力 3.6 操作的vs.公理的意味論 3.7 他のプログラミング言語 4. 他のアプローチ 4.1 超準動的論理 4.2 アルゴリズム的論理 4.3 有効的定義の論理 4.4 時制論理 第15章 プログラム証明のための手法と論理 P.Cousot：細野 千春，富田 康治 1. 序論 1.1 Hoareの萌芽的な論文の解説 1.2 C.A.R.HoareによるHoare論理のその後の研究 1.3 プログラムに関する推論を行うための手法に関するC.A.R.Hoareによるその後の研究 1.4 Hoare論理の概観 1.5 要約 1.6 この概観を読むためのヒント 2. 論理的，集合論的，順序論的記法 3. プログラミング言語の構文論と意味論 3.1 構文論 3.2 操作的意味論 3.3 関係的意味論 4. 命令の部分正当性 5. Floyd-Naurの部分正当性証明手法とその同値な変形 5.1 Floyd-Naurの手法による部分正当性の証明の例 5.2 段階的なFloyd-Naurの部分正当性証明手法 5.3 合成的なFloyd-Naurの部分正当性証明手法 5.4 Floyd-Naurの部分正当性の段階的な証明と合成的な証明の同値性 5.5 Floyd-Naurの部分正当性証明手法の変形 6. ライブネスの証明手法 6.1 実行トレース 6.2 全正当性 6.3 整礎関係，整列集合，順序数 6.4 Floydの整礎集合法による停止性の証明 6.5 ライブネス 6.6 Floydの全正当性の証明手法からライブネスへの一般化 6.7 Burstallの全正当性証明手法とその一般化 7. Hoare論理 7.1 意味論的な観点から見たHoare論理 7.2 構文論的な観点から見たHoare論理 7.3 Hoare論理の意味論 7.4 構文論と意味論の間の関係：Hoare論理の健全性と完全性の問題 8. Hoare論理の補足 8.1 データ構造 8.2 手続き 8.3 未定義 8.4 別名と副作用 8.5 ブロック構造の局所変数 8.6 goto文 8.7 （副作用のある）関数と式 8.8 コルーチン 8.9 並行プログラム 8.10 全正当性 8.11 プログラム検証の例 8.12 プログラムに対して1階論理を拡張した他の論理 第16章 様相論理と時間論理 E.A.Emerson：志村 立矢 1. 序論 2. 時間論理の分類 2.1 命題論理 対 1階述語論理 2.2 大域的と合成的 2.3 分岐的 対 線形 2.4 時点と時区間 2.5 離散 対 連続 2.6 過去時制 対 未来時制 3. 線形時間論理の技術的基礎 3.1 タイムライン 3.2 命題線形時間論理 3.3 1階の線形時間論理 4. 分岐的時間論理の技術的基礎 4.1 樹状構造 4.2 命題分岐的時間論理 4.3 1階の分岐的時間論理 5. 並行計算：その基礎 5.1 非決定性と公平性による並列性のモデル化 5.2 並列計算の抽象モデル 5.3 並列計算の具体的なモデル 5.4 並列計算の枠組みと時間論理の結び付き 6. 理論的見地からの時間論理 6.1 表現可能性 6.2 命題時間論理の決定手続き 6.3 演繹体系 6.4 モデル性の判定 6.5 無限の対象の上のオートマトン 7. 時間論理のプログラムの検証への応用 7.1 並行プログラムの正当性に関する性質 7.2 並行プログラムの検証：証明論的方法 7.3 時間論理による仕様からの並行プログラムの機械合成 7.4 有限状態並行システムの自動検証 8. 計算機科学における他の様相論理と時間論理 8.1 古典様相論理 8.2 命題動的論理 8.3 確率論理 8.4 不動点論理 8.5 知識 第17章 関係データベース理論の構成要素 P.C.Kanellakis：鈴木 晋 1. 序論 1.1 動機と歴史 1.2 内容についての案内 2. 関係データモデル 2.1 関係代数と関係従属性 2.2 なぜ関係代数か 2.3 なぜ関係従属性か 2.4 超グラフとデータベーススキーマの構文について 2.5 論理とデータベースの意味について 3. 従属性とデータベーススキーマ設計 3.1 従属性の分類 3.2 データベーススキーマ設計 4. 問合わせデータベース論理プログラム 4.1 問合わせの分類 4.2 データベース論理プログラム 4.3 問合わせ言語と複合オブジェクトデータモデル 5. 議論：関係データベース理論のその他の話題 5.1 不完全情報の問題 5.2 データベース更新の問題 6. 結論 第18章 分散計算：モデルと手法 L.Lamport and N.Lynch：山下 雅史 1. 分散計算とは何か 2. 分散システムのモデル 2.1 メッセージ伝達モデル 2.2 それ以外のモデル 2.3 基礎的概念 3. 分散アルゴリズムの理解 3.1 挙動の集合としてのシステム 3.2 安全性と活性 3.3 システムの記述 3.4 主張に基づく理解 3.5 アルゴリズムの導出 3.6 仕様記述 4. 典型的な分散アルゴリズム 4.1 共有変数アルゴリズム 4.2 分散合意 4.3 ネットワークアルゴリズム 4.4 データベースにおける並行性制御 第19章 並行プロセスの操作的および代数的意味論 R.Milner：稲垣 康善，結縁 祥治 1. 序論 2. 基本言語 2.1 構文および記法 2.2 操作的意味論 2.3 導出木と遷移グラフ 2.4 ソート 2.5 フローグラフ 2.6 拡張言語 2.7 その他の動作式の構成 3. プロセスの強合同関係 3.1 議論 3.2 強双模倣関係 3.3 等式による強合同関係の性質 3.4 強合同関係における置換え可能性 3.5 強等価関係上での不動点の唯一性 4. プロセスの観測合同関係 4.1 観測等価性 4.2 双模倣関係 4.3 観測合同関係 4.4 プロセス等価性上での不動点の唯一性 4.5 等式規則の完全性 4.6 プロセスの等価性に対するその他の概念 5. 双模倣等価関係の解析 5.1 等価性の階層構造 5.2 階層構造の論理的特性化 6. 合流性をもつプロセス 6.1 決定性 6.2 合流性 6.3 合流性を保存する構成子 7. 関連する重要な文献
