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問1
1/p+1/q=r/79
まずは右辺の分母の79が目を引く。通分して分母が79になることなんてあるのか？79は素数だから、pかqが79の倍数じゃないと分母は79にならないだろう。これは簡単に示せる。
両辺を79pq倍すると
79(p+q)=pqr
79は素数なのでp,q,rのいずれかが79の倍数。
r<79なのでp,qのいずれかが79の倍数。
p=79kもしくはq=79kとおきたいけれど、p≦qという制約が邪魔なので一度取り払ってしまう。最後にpとqの大小を比較すれば問題なし。とはいえqの方が大きくなってほしいのでp=79kではなくq=79kとおく(kは正の整数)。
1/p+1/79k=r/79
両辺を79倍すると
79/p+1/k=r …①
ここまでくるとだいぶ景色が変わって見える。左辺を通分することを考えるとこれが整数になる状況はだいぶ限られそう。kとpの関係をわかりやすくしたい。
両辺をp倍すると
79+p/k=rp
右辺は整数なので左辺も整数、よってp=mkとおける(mは正の整数)。代入・整理して
79+m=rmk
79=m(rk-1)
79は素数なのでm=1,79
i)
m=1のときp=kであり①に代入すると80k=rなのでkが80の約数であればいい。p=k=1,2,4,5,8,10,16,20,40,80 それぞれr=80,40,20,16,10,8,5,2,1となるがr<79なので(p,r)=(1,80)は不適。ちなみにq=79k=79pなので、pとqを入れ替えることなく題意のp≦qは満たされている。
ii)
m=79のときp=79kであり①に代入すると1/k+1/k=r
kr=2なので(k,r)=(1,2)(2,1) このときp=79,158。ちなみにq=79k=pなので、pとqを入れ替えることなく題意のp≦qは満たされている。
この2つをまとめてpを小さい順に並べると
p=2,4,5,8,10,16,20,40,79,80,158
よって求める値は25280
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扱う式が分数の足し算の形なので、なるべく通分の操作を意識した解答を作ってみました。mod処理で進めればもっと短くなるんでしょうが、「天から降ってきた解答」感がぬぐえなくなってしまうので。
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