東大入試数学の解:

98年のは、

白丸だけの列に操作2を3回適用で列に白丸3つ増やせる。
問題の白丸1つから始めるとn=3とn=4の白丸列ができn=3k,n=3K +1は可能。
逆に黒丸1つから始めるとn=2の白丸列ができn=3k+2は可能。
同じ操作の繰り返しで、白丸で開始と黒丸で開始では可能な列が重ならないなら、白丸開始でn=3k+2の白丸列は可能ではなく、白丸列はn=3kか3k +1に限られる。
操作の繰り返しで開始丸の違いで可能な列が重ならないのは、丸を増やさない反転が操作がなく、開始丸の違いが維持されるから。

12年のは、

奇数秒ではPもQも確率0。QとQの右の確率は、Pから見た対称性で同じ値になる。
球が2秒後に同じ位置にいるのが4/6で、右左どちらかに移るのが1/6。以降n=2kとする。
2k秒のときのPの確率をP(k)/6^k、Qの確率をQ(k)/6^kとする。
同じ位置のままが4,移る場合が1なので、連立漸化式P(k+1)=4P(k)+Q(k)+Q(k), Q(k+1)=P(k)+4Q(k)+Q(k)となる。
P(k)を消して、P(k+1)-4Q(k+1)=-18Q(k) → P(k)=4Q(k)-18Q(k-1)。代入して、Q(k+1)=9Q(k)-18Q(k-1)
等比数列Q(k+1)-3Q(k)=6{Q(k)-3Q(k-1)}と、Q(k+1)-6Q(k)=3{Q(k)-6Q(k-1)}に変形。
Q(0)=0,Q(1)=1,Q(2)=9より、Q(k+1)-3Q(k)=6^k, Q(k+1)-6Q(k)=3^k → Q(k+1)=2*6^k-3^k → Q(k)=(6^k-3^k)/3
よって2k秒でのQの確率は、Q(k)/6^k = (1-1/2^k)/3

2019-10-09