2017-10-16

http://president.jp/articles/-/23368

数学センスのないおっさんが解いてみる。

●×●=256が解ける子解けない子の差

http://president.jp/articles/-/23368

Q:ADCDBC10cm、四角形ABCDの面積が64平方cmとき、辺ABの長さは何cmですか。

(ただし∠ABC = 90°, ∠CDA = 90°)

辺ABをx(cm)とおく。

この四角形は∠ABCと∠CDAの対角の和が180°なので、円に内接する。この円の中心点をO、半径をrとする。

また、ACに対角線を引いておく。

CDAは、弧ACに対する円周角で90°なので、ACは円の直径になり、中心点OはAC上にある。

二等辺三角形DACの頂角Dから底辺ACに垂線を下すと、垂線は底辺ACと直角に交わり、底辺ACを二等分する。

よって、垂線と底辺ACの交点が円の中心点Oとなる。

OA = OC = OD = r, ∠DOC = 90°

三角形DACの面積をS1とおくと、

S1 = 1/2 × AC × OD

S1 = 1/2 × 2r × r

S1 = r2

三角形BCAの面積をS2とおくと、

S2 = 1/2 × BC × AB

S2 = 1/2 × 10 × x

S2 = 5x

四角形ABCDの面積は

S1 + S2 = 64

r2 + 5x = 64

r2 = 64 - 5x ...(1)

また、三角形BCAにおいて、三平方の定理より、

AC2 = AB2 + BC2

(2r)2 = x2 + 102

4r2 = x2 + 100 ...(2)

(1)と(2)の連立方程式を解く。

(2)に(1)を代入

4(64 - 5x) = x2 + 100

256 - 20x = x2 + 100

x2 + 20x - 156 = 0

(x + 26)(x - 6) = 0

x > 0より x = 6

よって、6 cm

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