「大数の弱法則」を含む日記

はてなキーワード: 大数の弱法則とは

2024-08-28

まず、大数の弱法則を数学的に定式化する。

独立同分布（iid）な確率変数列 X₁, X₂, ..., Xₙ があり、その期待値を E(Xᵢ) = μ とする。このとき、サンプル平均 X̄ₙ = (1/n)∑ᵢXᵢ について、任意の正数 ε > 0 に対して以下が成り立つ。

lim[n→∞] P(|X̄ₙ - μ| ≥ ε) = 0

証明には、チェビシェフの不等式を用いる。まず、チェビシェフの不等式を証明する。

確率変数 Y と任意の正数 a > 0 に対して、

P(|Y - E(Y)| ≥ a) ≤ Var(Y)/a²

が成り立つ。

証明の手順は次の通りである：

1. 指示関数 I[|Y - E(Y)| ≥ a] を定義する。

2. E[(Y - E(Y))²] ≥ E[(Y - E(Y))² · I[|Y - E(Y)| ≥ a]] が成り立つ。

3. 右辺は a² · P(|Y - E(Y)| ≥ a) 以上となる。

4. E[(Y - E(Y))²] = Var(Y) であるため、不等式が成立する。

1. X̄ₙ の期待値と分散を計算する。

- E(X̄ₙ) = μ

- Var(X̄ₙ) = Var(X₁)/n = σ²/n

2. チェビシェフの不等式を適用する。

- P(|X̄ₙ - μ| ≥ ε) ≤ Var(X̄ₙ)/ε² = σ²/(nε²)

3. 両辺の極限をとる。

- lim[n→∞] P(|X̄ₙ - μ| ≥ ε) ≤ lim[n→∞] σ²/(nε²) = 0

4. 確率は非負であるため、サンドイッチ定理より、

- lim[n→∞] P(|X̄ₙ - μ| ≥ ε) = 0

これにより、大数の弱法則が証明された。