2011-02-02

http://anond.hatelabo.jp/20110202211036

>あらゆる円を集めた集合上で定義される適当な測度について、という意味で書いた。 適当に円を描いたらその円の円周が代数的数である確率が0かどうかという意味

なるほど。円周=2πrだから、単にrに対する線形変換で、rの集合は正の実数の集合と同相。

http://ja.wikipedia.org/wiki/代数的数

によると、代数的数の集合は可算濃度であることは証明されているらしい代数的数に、超越数の2πをかけると、これは超越数になる。一方、超越数に2πをかけて代数的数になる場合は、n/πのケースを考えると、少なくとも可算濃度。ちゃんと証明出来ていないが、超越数に2πをかけて代数的数になる場合連続体濃度もあるとは考えられず、連続体濃度と可算濃度の中間の濃度は普通は考えないから、超越数*2πが代数的数になる場合は高々可算濃度だと思う。

そうすると、可算濃度+-可算濃度も高々可算なので、任意の円の集合の中で、その円の円周が代数的数である確率はa.e. 0だと思う。

記事への反応 -
  • 円周が3の「円」というのは存在しないのか

    • 存在はするだろ。 可測かどうかは知らんが。

      • 円周=2πr、だから、円周が3の円って、単に、r=3/2πの円じゃないの?2次元平面の普通の円で考えたら、面積9/4πで、どう考えても可測じゃん?なんで可測性が関係あるの?

        • あらゆる円を集めた集合上で定義される適当な測度について、という意味で書いた。 適当に円を描いたらその円の円周が代数的数である確率が0かどうかという意味。

          • >あらゆる円を集めた集合上で定義される適当な測度について、という意味で書いた。 適当に円を描いたらその円の円周が代数的数である確率が0かどうかという意味。 なるほど。円周=...

            • 俺もそう思ったけど、やっぱ 超越数に2πをかけて代数的数になる場合が連続体濃度もあるとは考えられず ここが怪しい気がして可測かどうかはわからんとしたんだよね。 超越数に掛...

              • 正の超越数xを用いて2πxの形で書ける代数的な数っていうのは、全ての代数的な数のうちの特殊な場合だから、 正の実数上の全ての代数的数の集合⊇正の超越数xを用いて2πxの形で書け...

                • 俺が馬鹿でわかってない気がするけど、 正の超越数xを用いて2πxの形で書ける代数的数の集合 と 2πxが代数的数となる正の超越数xの集合 の濃度が等しいという理屈がわからん。 前...

                  • あーなるほど。 f(r) = 2πr (r>0) は、超越数とか代数的数とかの区別を考えなければ、f:R_+→R_+でfは全単射だよね。単なる線形変換だから。あと、x∈R_+は、超越数か代数的数のどちらか...

      • その存在する円の直径って超越数なの? 小学4年生の女の子にも分かりやすく教えてっておっさんが言ってます。

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