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A = U Σ V† = Σ σᵢ uᵢ vᵢ†
(ただし、σ₁ ≥ σ₂ ≥ ... ≥ σᵣ が成立)
Frobeniusノルムは以下のように定義される。
||A||_F = √( Σ |aᵢⱼ|² ) = √( tr(A†A) ) = √( Σ σᵢ² )
Aₖ = Σᵢ₌₁ₖ σᵢ uᵢ vᵢ†
このとき、任意のランク k の行列 B_k に対して、次の不等式が成り立つ。
||A - Bₖ||_F ≥ ||A - Aₖ||_F
||A - Bₖ||_2 ≥ ||A - Aₖ||_2
Weylの不等式より、任意の i と j に対して以下が成立する。
σᵢ₊ⱼ₋₁(X + Y) ≤ σᵢ(X) + σⱼ(Y)
ここで、B のランクを k とする。さらに、σᵢ ＞ ₖ (B) = 0 に注意する。
j = k+1, X = A - B, Y = B として、不等式は次のようになる。
σᵢ₊ₖ(A) ≤ σᵢ(A - B) + σₖ₊₁(B) = σᵢ(A - B)
これにより、
||A - B||_2 = σ₁(A - B) ≥ σₖ₊₁(A) = σ₁(A - Aₖ)
||A - B||_F² = Σ σᵢ²(A - B) ≥ Σ σᵢ₊ₖ²(A) = ||A - Aₖ||_F
規格化された状態 |ψ＞ に対して、Schmidt分解を |ψ＞ = Σ₁ λᵢ |Lᵢ＞ |Rᵢ＞ とする。
ランク k の規格化された状態 |φₖ＞ に対して、次が成立する。
|＜ψ|φₖ＞| ≤ Σ₁ₖ λᵢ²
k ランク近似を |ψₖ＞ = Σ₁ₖ λᵢ |Lᵢ＞ |Rᵢ＞ とする。このとき、次の不等式が成り立つ。
|| |ψ＞ - |φₖ＞ ||_2 ≥ || |ψ＞ - |ψₖ＞ ||_2
これにより、
2 - 2 Re ＜ψ|φₖ＞ ≥ 1 + ＜ψₖ|ψₖ＞ - 2 Re ＜ψ|ψₖ＞
したがって、
Re ＜ψ|φₖ＞ ≤ Re ＜ψ|ψₖ＞ + 1 - ＜ψₖ|ψₖ＞ / 2 ≤ Σ₁ₖ λᵢ²
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