「湧く」という動詞は、「温泉が湧く」「湧き水」といった風に「地面から水やお湯が出てくること」を意味する。追い炊き機能のあるお風呂であれば、バスタブ側面下方に配置される給湯口から出てきたお湯が溜まった状態になるので、「お風呂(の実体的要素であるお湯)が湧きました(現在完了形)」との表現はまあまあ適切な気がする。追い炊き機能のないお風呂であれば、お湯をバスタブ上の蛇口から注ぐことでお湯が溜まるので、ご指摘の通り「沸いた(高温になった)お湯がバスタブの中に溜まりました」との表現がふさわしいと思う。ただ、この種のアナウンスがなされる後者のお風呂は少ないのでは?