■九九で現れる数字は36種類について

a×b (1≦a≦9,1≦b≦9)

について現れる数字を単純に考えると、

9×9 = 81通り

ですが、交換法則が成り立つので、

a×b = b×a

は同じものとして1通りで数えなければならないので、2で割ることにします。

ただし、b = aである場合、a×aは1通りしか含まれません。

なので、1×1, 2×2, ……, 9×9の9通りについて、割る前に9通りを足しておきます。

よって、

(81 + 9) ÷ 2 = 45通り

これが予想される数ですが、実際にはこれよりも9通り少ない36通りです。

なら、どこかで9通り重複しているはずです。

1から9までの数の約数

1から9までの数の約数を考えます。

• 1の約数は1
• 2の約数は1と2
• 3の約数は1と3
• 4の約数は1と2と4
• 5の約数は1と5
• 6の約数は1と2と3
• 7の約数は1と7
• 8の約数は1と2と4と8
• 9の約数は1と3と9

ここから分かることは、4,6,8,9について、

• 4: 1×4 = 2×2
• 6: 1×6 = 2×3
• 8: 1×8 = 2×4 = 2×2×2
• 9: 1×9 = 3×3

の複数の組み合わせが存在するということです。

乗数が4,6,8,9、被乗数が1,2,3,4,6,8,9とした組み合わせの場合、異なった乗算で表現できるかもしれません。

調べた結果

• 4×1 = 1×2×2 = 2×2
• 4×2 = 1×2×2×2 = 1×8
• 4×3 = 1×2×2×3 = 2×6
• 4×4 = 1×2×2×2×2 = 2×8
• 4×6 = 1×2×2×2×3 = 3×8
• 4×8 = 1×2×2×2×2×2 (不適)
• 4×9 = 1×2×2×3×3 = 6×6
• 6×1 = 1×2×3 = 2×3
• 6×2 (= 4×3)
• 6×3 = 1×2×3×3 = 2×9
• 6×4 (= 4×6)
• 6×6 (= 4×9)
• 6×8 = 1×2×2×2×2×3 (不適)
• 6×9 = 1×2×3×3×3 (不適)
• 8×1 (= 4×2)
• 8×2 (= 4×4)
• 8×3 (= 4×6)
• 8×4 (= 4×8)
• 8×6 (= 6×8) (不適)
• 8×8 = 1×2×2×2×2×2×2 (不適)
• 8×9 = 1×2×2×2×3×3 (不適)
• 9×1 = 1×3×3 = 3×3
• 9×2 (= 6×3)
• 9×3 = 1×3×3×3 (不適)
• 9×4 (= 6×6)
• 9×6 = 1×2×3×3×3 (不適)
• 9×8 (= 8×9) (不適)
• 9×9 = 1×3×3×3×3 (不適)

以上、9通りが重複していました。

めでたしめでたし。

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