2015-08-18

久しぶりに高校数学問題チャレンジ

「おかわり、お茶碗半分くらいって言ってるのに8割ぐらい入れてくる店」

http://anond.hatelabo.jp/20150817231901

を読んで、以下のような高校数学問題見立てて解いているところなんだけど途中で詰んでしまったので誰か解いてほしい。

問: 半径rの、半球の形状をした茶碗に水を注ぐ。水量が茶碗の容積のちょうど半分となるように注いだ場合の、水面の高さ (茶碗の底から水面までの距離) を求めよ。

途中経過は長くなるのですっ飛ばすけど、水面の高さを x, その時の水量を y とした場合

y = pi (r x^2 - 1/3 x^3)

が成り立つ。

いっぱいに注いだときの水量が、球の体積の半分 (2/3 pi r^3) だから、水量が半球の容量の半分となるには、体積がさらにその半分となるとき、つまり

(1/3 pi r^3) = pi (r x^2 - 1/3 x^3)

方程式を解けば良い。

ここまでは自力で出来たんだけどそこから先が出来ない (x = なんとか の形に落とし込めない) ので誰か助けてください。

ちなみに実際の値を概算で計算すると8割は多すぎで、6割と7割の間くらいになるっぽいです。

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