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ジョン・フォン・ノイマンのミニマックス定理は、ゲーム理論の数学的な領域で、最大-最小不等式が等式でもあることを保証する条件を提供する定理。
この定理は、1928年に発表されたゼロサムゲームに関するフォン・ノイマンのミニマックス定理が最初であり、ゲーム理論の出発点と考えられている。
具体的には、フォン・ノイマンのミニマックス定理は次のように述べられる：
$$
\text{Let } X \text{ and } Y \text{ be compact convex sets. If } f \text{ is a continuous function that is concave-convex, i.e. } f \text{ is concave for fixed } y, \text{ and } f \text{ is convex for fixed } x. \text{ Then we have that }
$$
$$
\sup_{y \in Y} \inf_{x \in X} f(x, y) = \inf_{x \in X} \sup_{y \in Y} f(x, y)
$$
特に、fがその両方の引数に対して線形関数（したがって双曲線）である場合、定理は成り立つ。したがって、有限行列Aに対して、次のようになる：
$$
\sup_{y \in Y} \inf_{x \in X} x^T A y = \inf_{x \in X} \sup_{y \in Y} x^T A y
$$
上記の形式では、Aはペイオフ行列。この特殊なケースは、各プレイヤーの戦略セットが行動（混合戦略）のロッタリーであり、ペイオフが期待値によって誘導されるゼロサムゲームに特に重要。
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