■Noether環って何？

任意のイデアルが有限生成な環。

定義

環Rに対して以下の3条件は同値。

1. Rの左イデアルの空でない任意の集合には、包含関係に関する極大元が存在する
2. Rの左イデアルの昇鎖I_0⊂I_1⊂...に対して、あるNが存在して、I_N=I_N+1=...となる
3. Rの任意の左イデアルは、有限個の元r_1, ..., r_nで生成される

環Rが上のいずれか（したがってすべて）を満たすとき、左Noether環という。上の条件において、左イデアルを右イデアルに変えたものを満たすとき、右Noether環という。Rが可換なら、左右の区別はないので、単にNoether環という。

例

• PIDはNoether環である

RがNoether環ならば、R[X]もNoether環である。(Hilbert)

性質

• Noether環上の有限生成加群はNoether加群である

RをNoether環、r∈Rを零因子でも単元でもない元とする。

xを含む極小素イデアルの高さは1である。(Krull)

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