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問2
この問題はオイラー線の性質を知らないと厳しい。何もないところからオイラー線の存在を示せるほどの頭脳の持ち主は、おそらくオイラー線の存在は知っているだろう。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%B7%9A
H, G, Oがこの順で同一直線状に並び、かつHG:GO=2:1なのでLもDも同一直線状にありHG:GO:OL:LD=2:1:3:4n/(m-n)とわかる。特にGO:GD=1:4m/(m-n)である。 …①
オイラー線の性質を利用せずに解きほぐすなら座標系を利用するのがよいだろう。Oは外心なので∠AOC=2∠ABC=π/2。ということで外心Oを原点、外接円の半径をrとしてC(r,0), A(0,r), B(-r/√2,r/√2)とおくのが一例。HとLは原点に関して対称で、形を眺めればH, G, O, L, Dが同一直線状に並ぶことに気付けるだろう。ちゃんと計算したよ。
必要な点だけ残して図を描くとBCを底辺としてA, G, O, L, Dの高さの比を計算していけばよいとわかる。
https://twitter.com/totsuration/status/1300788313414971393
あと△ABC:△OBCを求めればほぼ答えは出たようなもの。Oは外心なので∠AOC=2∠ABC=π/2, AO=COより△AOCは直角二等辺三角形。∠ACB=π/8なのでBCは∠ACOを二等分する。
https://twitter.com/totsuration/status/1300788363784605699
よってBCはAOをAC:COつまり√2:1に分ける。これは△ABC:△OBCに等しい。 …③
①②③から△ABC:S=△ABC:(□BGCD+△ABC*2/3)
=△ABC:((△GBC+△OBC)*4m/(m-n)+△ABC*2/3)
=△ABC:((△ABC/3+△ABC/√2)*4m/(m-n)+△ABC*2/3)
=1:(2(√2+1)m-2n/3)/(m-n)
△ABC=AB*BC*sin(π/4)/2=(中略)=3(√2-1)/√2なので
S=(3√2m-(2-√2)n)/(m-n)
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