■補足

http://anond.hatelabo.jp/20101118060341

みなさん分かってると思いますが上のは嘘ですよ。

割り算の記号

これは豆知識の部類ですが、割り算の記号は国によってばらばらです。「÷」「／」「：」がほとんどだと思います。

ピーターフランクルが「：」を使ってたので、東欧のほうではこれなんでしょう。

左から割る記号

左から割る記号に「＼」を使うのは数学で一度だけ出会ったことがあります。群論で剰余類で類別するところです。

参考: http://www.econ.hit-u.ac.jp/~yamada/algebra_pdf/2_2_subgroup.pdf 2ページ目の記号のところにありますね。

普通はこの意味で「＼」を使うことはありません。差集合の意味で使うのが普通です。

参考: http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%AE%E9%9B%86%E5%90%88

等分除と包含除

整数どうしの割り算には大きく２種類の意味があります。等分除と包含除です。

上に書いたように５人で分けると１人分はいくつでしょうといった等分除と、３個ずつ分けると何人に分けられるでしょうといった包含除です。

参考: http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%99%A4%E6%B3%95

普通に算数を学んだ人は、この２つの違いを意識することはないと思います。

どちらも同じ割り算という計算をすれば答えが出ることをすぐに思いつけるレベルになっているでしょう。

即座に割り算だと分からないと、割り勘も出来ないし生活で困るはずです。

むしろ、この２つの違いを意識して式を立てるほうが異常だと思います。

3×5=3+3+3+3+3=5+5+5

3×5 の定義は3を5回足し合わせること。すなわち 3+3+3+3+3 である。もちろんこれは正しいことです。

よって、3×5 は3個のりんごを5組集めてきたときの総数という意味に解釈しなければならず、5個のりんごを3組としてはならない。これは完全に誤りです。

定義は掛け算の計算方法を定めているのであって、意味を定めているものではありません。

たとえば、掛け算には面積を計算するという重要な意味もあります。縦3m横5mの長方形の面積は何平方mでしょう？

3+3+3+3+3=15

により15平方mと解いたならこれは自信をもって×にできます。

3mを5回足すことに面積を求めるという意味はありえません。大体、左辺と右辺で次元が違っています。

3×5を定義で置き換えることで完全に意味が変わってしまいました。これは定義が意味を示してるわけではないということです。

割り算も同じです。等分除で定義した割り算も包含除で定義した割り算も計算の結果は同じです。意味が違うだけです。

意味が違うからと違う記法を導入してはいけません。数学は意味を捨て去って計算を抽象化する学問です。結果が同じならみんな割り算と呼んでやればいいのです。

意味の違いを捨て去ることで算数のレベルはひとつ上がりました。掛けられる数は常に左で必ず個数だと決めて覚えるのはもちろんレベルダウンですよ。

おわり

掛け算は何を意味するのか？それは定義ではなくて掛け算の性質（＝定理）から得るのが自然だ。

3×5は定義から「3個×5組」という意味にとれるし、交換法則と定義から「3組×5個」という意味にもなる。

「3m×5m」なら面積だし、「3m×5本」なら長さの合計でもいい。

大事なのは上のように式の意味をたくさん見つけてくる能力を強化することと、逆に意味から式を作る引き出しを充実させることだ。

みんなこのプロセスを辿ってきたから、等分除とか包含除とか意識せずに割り算できるし、掛け算の左と右を区別するという引き出しの容量の無駄遣いなんてしなくなったはずだ。

わざわざ理屈で考えて式をひねり出させるような問題ではない。そんなことができるのは算数が得意な利口なのだけだろ。

Permalink | 記事への反応(3) | 07:46

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