2017-06-26

長さが測れるテープ

三角形ABCがあり、辺AB,BC,CAをそれぞれc,a,bとする。

点Aをテープ台のカッター部分、点Bがテープ台の端、

辺cがテープ台の側面、辺aが目盛り、辺bがテープ対応するものとする。

三角形の合同条件から、二つの辺とその間の角によって三角形は定まるので、

辺cのテープ台側面の長さと辺aのメモリテープ台側面とテーブルとの角度∠Bから

辺bのテープの長さを決めることができる。

目盛りは、次のように定められる。

余弦定理より

b2 = a2 + c2 - 2ac cos B

b2 - c2 = a2 - 2ac cos B

ここでt = c cos Bとおく。

b2 - c2 = a2 - 2ta

b2 - c2 = (a - t)2 - t2

b2 - c2 + t2 = (a - t)2

√(b2 - c2 + t2) = a - t

よって

√(b2 - c2 + t2) + t = a

t = c cos B

(ただし b > c)

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