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m + n = 2xなので、mとnは両方とも奇数 or 両方とも偶数。
m = n = 2のときはx + y = 2を満たす素数x, yは存在しないので不適。したがって、m, nはともに奇数。
x - y = nが奇数なので、xとyは一方が奇数でもう一方が偶数。x = 2だと、nが素数にならないので、y = 2。
よって、
(n, x, m) = (x - 2, x, x + 2)
がすべて素数となるxを求めればよい。
x = 5はこの例である。これ以外に解が無い事を示す。x＜5のときはx - 2, x, x + 2がすべて素数となるxは無い。
2 ≡ -1 (mod 3)より、x - 2, x, x + 2の1つは必ず3の倍数になる。したがってx＞5のとき、x - 2, x, x + 2の少なくとも1つは必ず合成数になる。
以上から、求める解は
(x, y, m, n) = (5, 2, 7, 3)
のみ。
連立方程式 x + y = m x - y = n を満たす素数x, y, m, nの組をすべて求めよ。
m + n = 2xなので、mとnは両方とも奇数 or 両方とも偶数。 m = n = 2のときはx + y = 2を満たす素数x, yは存在しないので不適。したがって、m, nはともに奇数。 x - y = nが奇数なので、xとyは一方が...
yが3以上の素数とすると、x,yは素数なのでx-yは2の倍数。2の倍数のうち素数なのは2しかないのでn=2。従ってx = y+2であってx+y = 2(y+1) = m。これはmが素数であることに矛盾するので解なし。従...
1は素数ではない
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