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https://medibook.hatenablog.com/entry/2020/02/21/211832
E[logX_1]とE[(logX_1)^2]の計算に躓いたので回答を書いておく。
正しいのかはわからない。
スコア関数は、S_n=\frac{d}{d\theta}logf_n(X)
Prop6.16(1)より、E[S_1(\theta,x_i)]=0なので、
E[\frac{1}{\theta}+logx_i]=0
より、E[\log x_i]=-\frac{1}{\theta}である。
式(6.8)より、
I_1(\theta)=E[S_1(x,\theta)^2]=E[(\frac{1}{\theta}+\log x_1)^2]
より、I_1(\theta)=\frac{1}{\theta^2}+E[(\log X_1)^2]-\frac{2}{\theta}E[\log X_1]
また、Prop6.17(3)より、
I_1(\theta)=-E[\frac{d}{d\theta}S_i]より、
I_1(\theta)=-E[\frac{1}{\theta^2}]
以上２つのI_1式は等しいので、
E[(\logX_1)^2]=\frac{2}{\theta}E[\log X_1]
より、E[\logX_1^2]=\frac{2}{\theta^2}
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