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X = √(2 + √p)とおくと、X^2 = 2 + √pだから、
Q(X)/Qは4次拡大で、XのQ上の共役は
√(2 + √p), -√(2 + √p), √(2 - √p), -√(2 - √p)
の4つ。p≧5のときは、2 - √p ＜ 0だから√(2 - √p)はRに含まれない。Q(X)⊂Rだから、このときQ(X)はXの共役をすべて含まないので、Q(X)/QはGalois拡大ではない。
p = 2, 3のとき。
X^2 = 2 + √pより、√p∈Q(X)。
√(2 - √p)√(2 + √p) = √(4 - p) = √p (p=2のとき) or 1 (p=3のとき)∈Q(X)。
よって、±√(2 - √p)∈Q(X)。
したがって、このときXの共役をすべて含むのでQ(X)/QはGalois拡大である。
σ(√(2 + √p)) = -√(2 - √p)
σ(√(2 + √p)^2) = 2 + σ(√p) = 2 - √pより、σ(√p) = -√p。
σ(√(2 - √p)^2) = 2 - σ(√p) = 2 + √pより、σ(√(2 - √p)) = √(2 + √p)。
よって、
σ(√(2 + √p)) = -√(2 - √p)
σσ(√(2 + √p)) = -√(2 + √p)
σσσ(√(2 + √p)) = √(2 - √p)
σσσσ(√(2 + √p)) = √(2 + √p)
Q(√(2 + √p))がGalois拡大となる素数pをすべて求め、その時のGalois群を求めなさい。
X = √(2 + √p)とおくと、X^2 = 2 + √pだから、 Q(X)/Qは4次拡大で、XのQ上の共役は √(2 + √p), -√(2 + √p), √(2 - √p), -√(2 - √p) の4つ。p≧5のときは、2 - √p ＜ 0だから√(2 - √p)はRに含まれ...
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