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正規の教育を受けていない中卒で、この内容はトンデモっぽいから詳しい人突っ込みよろしく。
区間 [0, 2PI] において、任意の a を x の係数とした sin ax は+1と-1の間の値をとる周期 a の正弦波の関数である事は周知の通りだが、例えば a を無限大にまで極限させてみるとどうなるだろうか。
具体的には、上述の例に於いて lim_[a → #N] の極限の条件を付け加えるのである。
ただし N は自然数全体の集合で、 #S は集合 S の濃度を示すとする。
適当な b (0 ≦ b ≦ 2PI) を選び、 sin b と同じ値が sin ax 中にいくつ現れるかを数えてみる。
[0, 2PI] sin ax (a in N) で sin b と一致する値をとる場所はsinの導関数が極大あるいは極小になる PI/4 と 3PI/4 であれば a 個、そうでない場合は 2a 個である。
lim_[a → #N] では区間 [0, 2PI] 内でその個数は #N と同じ値になる。
周期関数が有界な区間の中に可算無限回敷き詰められているのだから、これを面だと主張しても良さそうに思える。
実際、 lim_[a → #N] sin ax で x を適当な実数とすると、関数の値は [+1, -1] の範囲で特定不可ではあるが、任意に選んだ c (-1 ≦ c ≦ +1) というのは確かに存在する。
今日は体調が優れずこれ以上考えが及ばなかったのでここまでにしておくが、
など、考える余地はまだありそうだ。
また、この記事自体既存の考えに重複するものかもしれない。その場合は、無学な私にどの分野と被るかを具体的に教えてくれるとありがたい。
関数空間を勉強するといいと思います。 自分も数学の別の分野が専門なので、素朴な印象だけで答えます。 たとえば sin(x)/n は n=1,2,･･･ と増やしていけば 恒等的に0 という関数に「...
なるほど、関数空間が当てはまる分野の様ですね。 位相と集合の入門が終わった当たりの知識でできそうなので、調べてみます。 学習の手がかりを見つけることができました。ありがと...
> 周期関数が有界な区間の中に可算無限回敷き詰められているのだから、これを面だと主張しても良さそうに思える。 残念ながらこれで面は埋まりません。lim_{a->\infty} sin ax (0 \leq x \...
本当ですね。 私は疲れていたのかもしれません。 少し休んで、もっと真面目に勉強します。
\lim_{n\rightarrow\infty} \int_0^{2\pi} {|sin nx|} \dx って幾つになるんだろう？
なんで「少し休んで～」って言ってるのに追い討ち掛けて話題ふるの？ まともに考えられる頭じゃないから休みたいって言ってるのに理解できないの？ 2chの数学板の連中もそうだけど、...
休むからって数学のことを考えないのか？ それは数学者になれない。 いい悪いではない。人間としてまともな生活を遅れるだろうが、しかし、常住坐臥数字のことで頭が埋め尽くされて...
そんなもの人それぞれだろ。 俺は体調管理が優先なんだよ。
同じ中卒としてぶち切れてんのが恥ずかしいからやめてケロ。
ああ、人それぞれだな。 そして数学を一時的に頭から追い出せる幸せな人は数学者じゃない。 わからない人には分からないだろうよ。
中卒無職が数学者なわけないだろ(;´Д`)
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