2009-04-02

http://anond.hatelabo.jp/20090402022446

自然数が加法について閉じていることの証明はペアノの公理だけで出来るっしょ。帰納法あるし。

自然数定義(0の次は1、1の次は2...)というのはちょっと手を抜いてて、本当はこれも帰納的に構成しないといけない。桁上がりとかで。今回は2までしか必要なかったのでこうした。

0の次1、1の次2、というのは、これは公理としか言いようが無い。名づけの問題なので。零、一、二とかれい、いち、に、とかでもいいんだし。

記事への反応 -
  • 理系なら、1+1の答えが2になるのはそういう公理であるからだと理解しているはずで、そうでない公理があってもいいということも理解しているはずだと思うのだが。

    • そんな公理はないと思うが。

      • 公理は矛盾しない限り何でもアリなのよ。 教科書に採用されるかどうかは別だがな。

        • そうじゃなくて、1+1=2という公理はないよねってこと。まだ遡り方が足りない。 (0,1,2の定義) 0の次の自然数は1、1の次の自然数は2である。 (加法の定義) 自然数aに自然数0を足すとaである...

          • その前に、自然数に自然数を足すと自然数になる。 という証明をしないといけない。 これの証明が骨が折れというか、もう忘れたけど、小数と積分を使って 自然数に自然数を足した場...

            • 自然数が加法について閉じていることの証明はペアノの公理だけで出来るっしょ。帰納法あるし。 自然数の定義(0の次は1、1の次は2...)というのはちょっと手を抜いてて、本当はこれも...

              • > 自然数の定義(0の次は1、1の次は2...)というのはちょっと手を抜いてて、本当はこれも帰納的に構成しないといけない。桁上がりとかで。 < 桁上がりとかは単に自然数の表記の問題...

                • うん、自然数の定義自体はそうなんだけど、「1」とか「2」とかの表記法自体は定義しないと1+1=2にはたどり着かないかなあと。

            • いやそれは公理であって定理じゃないんじゃ… 実数を構成しなくても自然数の加法は構成できるし…

              • あ、いや、自然数に自然数を足した物が、必ず自然数になる。というのは、公理だけから導くことができますが。 そうではなくて。 いままで、たとえば、4つの公理が必用であった物を...

                • 1+1=2 を 公理からの導出ではなく 微分積分を使って もっと、 スマートに 言い方を変えると 小難しく 証明することが出来るかどうか?という事について 聞いてみている...

          • {0, 1, ∞}で数学作ればいいんだよね。極端に言えば、0無しでもいいか。

        • それはおかしくないか?不完全性定理的に考えて。

    • 標数 2 だったら、1 + 1 = 0 だよ。

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