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a = (a_n)をCauchy列とする。
まず、aが有界であることを示す。aはCauchy列であるから、あるNが存在して、n, m≧Nとなるすべてのn, mに対して、|a_n - a_m| < 1となるようにできる。したがって、n ≧ Nならば
|a_n| ≦ |a_N| + |a_n - a_N| < |a_N| + 1。
よって、M = max {|a_1|, |a_2|, ..., |a_N|, |a_N| + 1} とおけば、すべてのnに対して、|a_n| ≦ Mとなる。したがって、aは有界である。
aは有界だから、Bolzano-Weierstrassの定理より、aには収束する部分列が存在する。その1つをa' = (a_(n_i))とし、lim[i→∞] a_(n_i) = Aとする。aがAに収束することを示す。
正の数εを任意に取る。
a'はAに収束するので、あるN_1が存在して、n_i ≧ N_1ならば、|a_(n_i) - A| < ε/2となる。
一方、aはCauchy列なので、あるN_2が存在して、n, m ≧ N_2ならば、|a_n - a_m| < ε/2となる。
N = max {N_1, N_2}とおくと、n_i ≧ Nとなるn_iが存在して、n ≧ Nならば、
|a_n - A| ≦ |a_n - a_(n_i)| + |a_(n_i) - A| < ε
Rのコーシー列が収束列であることを証明して下さい。
a = (a_n)をCauchy列とする。 まず、aが有界であることを示す。aはCauchy列であるから、あるNが存在して、n, m≧Nとなるすべてのn, mに対して、|a_n - a_m| < 1となるようにできる。したがって、...
こどもだからわかりません。
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