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> 直示的定義に依らず、かつ直示的定義が必要な他の概念を援用せず「＞＝」を定義する方法があるだろうか？
おそらくないだろうと思う。
数学の根底部分は直示的概念だろう。「リンゴ」という個体の認識、その個体を数えるという自然数的行為、別々の個体がそれぞれ「リンゴ」であるとする類型や比較、そういった個体の複数を群、大きさや重さといった連続的な量、空間を埋める形。
一旦「数学」と言う概念を取り払い、そこから数学の何らかの概念の定義を試みる。すると、数学における定義をなんら持たず、日常使われる一般的意味を持つ言葉・単語を用いて定義を行うしかない。そして、厳密に定義されない日常の言葉は直示的概念を含む。
では、数学とは根本的に人間の感覚に依存したものであり、もし、人間とは違う感覚を持つ知性がいたら、根本から異なる数学が生まれるのか？
おそらく生まれないだろう。少なくともこの宇宙では。
人間は、その発生の瞬間から物理的法則の数々により存在してきた。取り巻く環境も含め、そのすべてが、これらの法則の元で存在している。そして、それらの法則は数学により記述される。
したがって、私たち人間は、今の数学的記述により表現できる物理環境に最適化される形で進化してきており、その環境を認識する本能的感覚が数学的影響を受けるのは必然である。
うん、哲学の話なんだ。済まない。でも数理哲学だからそれほど的はずれでもない。 二項間の関係"<="が定義できて… 直示的定義に依らず、かつ直示的定義が必要な他の概念を援用せ...
> 直示的定義に依らず、かつ直示的定義が必要な他の概念を援用せず「＞＝」を定義する方法があるだろうか？ おそらくないだろうと思う。 数学の根底部分は直示的概念だろう。「リ...
直示的定義に依らず、かつ直示的定義が必要な他の概念を援用せず「＞＝」を定義する方法があるだろうか？ おそらくないだろうと思う。 数学の根底部分は直示的概念だろう。 h...
順序集合の概念よりも、集合論の公理は根源的だから、まだ遡り方が足りない。 集合論の上でいろいろやって順序集合が定義されるんだろう。
児童がより先に習得するのは量数ではなく序数だったりするから面白い。 論理的にはともかく、指折り計算が示すように「人間の脳にとっては」序数の方が根源的なのかもしれない。
そうだね、「一対一対応で指折り数える」というのが多分人間の「数」概念の根源なんだろうね。 純LISPで自然数と足し算を定義する話とか思い出した。
そういうのって突き詰めていくと結局ゲーデルの不完全性とかにぶちあたって終わる気がする。 いや、勘だけどさ。
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