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と思ってほぼ自明だけどモデル化してみた。
時刻tで雪だるまの平均半径をr(t)とする。
雪だるまは一定の角速度ωで転がり、
ωdtだけ転がった際に巻き込む雪によって平均半径がγr(t)ωdtだけ増えるとする。
球形からの歪みは無視して、半径は一様に増えるとする。
よって平均半径の微分方程式は
dr = γr(t)ωdt
なので、これを解くと
r(t) = r(0)exp(γωt)
<誰も読まないだろうけど追記>
もう少し厳密には、半径が大きくなると同量の雪を巻き込んだときの半径の増分が小さくなると考えるのが自然。
一方で巻き込む雪の量は円弧の長さではなくて立体角に比例するべきだから、
dS = 8πrdr
となって結局同じ方程式に帰着するよね。
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