nは整数とする。n2が7の倍数ならば、nは7の倍数であることを証明しなさい。
対偶は、nが7の倍数でないならば、n2は7の倍数ではない。
これを証明する。
7の倍数でないnの値は、整数k,rを用いて
n = 7k + r (r = 1,2,3,4,5,6)
と表すことができる。
二乗すると、
n2 = (7k + r)2
= 49k2 + 14kr + r2
= 7(7k2 + 2kr) + r2
つまり、n2は7で割るとr2余る。
ここでr2は1,4,9,16,25,36のいずれかであり、いずれも7で割り切れない。
したがって、nが7の倍数でないならば、n2は7の倍数ではない。
ゆえに、対偶は真である。
よって、命題も真である。
こんなんでいいんかねえ。
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