1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12 の証明

2020-06-16

S = 1 + 2 + 3 + 4 + ...

とおく。

S   = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8  + ...
4S =    + 4     + 8     + 12    + 16 + ...

よって

-3S = 1 - 2 + 3 - 4 + ...

これをTとおくと

 T = 1 - 2 + 3 - 4 + ...
-T =   - 1 + 2 - 3 - ...

なので

2T = 1 - 1 + 1 - 1 + ...

これをRとおくと

 R = 1 - 1 + 1 - 1 + ...
-R =   - 1 + 1 - 1 + ...

よって、2R = 1

∴R = 1/2

∴T = 1/4

∴S = -1/12□

anond:20200616233714
1/(1 + x) = 1 - x + x^2 - x^3 + ... xで微分して 1/(1 + x)^2 = -1 + 2x - 3x^2 + ... x = 1を代入して 1/4 = 1 - 2 + 3 - 4 + ...