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はてなキーワード: 定理とは
数学の構造に従って順次検討する。 定理・・・発見されたときに驚愕される有用なものであるが、大したことがなく、研究が深まっておらず、完全無欠とは言い難い定理は、公式と呼ばれる
ようになって、証明の技術に使用できない。例えば、 sin^2+cos^2=1 は高校の教科書の当たり前の定理であるが、公式と呼ばれる。 加法定理も公式化している。完全無欠でそれ以上に
ないところまで進化していないと、使い物にならない。パスカルの定理とか、 対称にして消すといった概念は、数学では完全無欠の象徴とされ、計算の技術の中に出て来る。円もそうである。
しかしこの辺りの技術は平成の者は誰も教えられていないので、具体的に、いかなる概念、定理が完全無欠と言われているかについても、その種の本が絶滅しているため、知りようがない。
この辺のことは、FF9のウイユヴェールにあるといって、平成２６年１１月１３日頃に強制にやっていたような感じがあるが、その秘術は、ウイユヴェールの部屋の中にあるので、誰も知りようがないということ
である。ウイユヴェールの老人でその夜に存在するかどうか分からない人間が全部封印したので分からないということであり、板橋区志村福祉事務所も、そこがウイユヴェールであると言っているが、
事務所に行ってもウイユヴェールの顔見たいな人は見当たらなかった。よって、この定理が進化して完全無欠な形態になるといっても、最終的に、何が完全無欠な概念であるかは不分明であり、
現代法、現代憲法の解釈論の中にそれがある可能性もあるが、いかなる定理が、完全無欠であって、他の問題の構成に出て来るのかは全く分からない。なんらかの恐るべき科学技術が存在し、
完全無欠な定理や、計算技術がそこに使用されている可能性があって、その恐るべき結論を導出している可能性が高いが、その種の装置は、存在する場所が隠されており、外部から見ても
分からない。
どうでもいいから読んでいない。 そもそもABC予想は証明する必要がないし。 ワイルズの場合は確実な定理を教科書に書いていって最終的に、コルイヴァギンフラッハ法により出来たが、
リチャードテイラー、 谷山豊などは、哲学的に確実な方法に持って行こうとして、発見すべくして発見した。
幾何学のアイデアも用いている。 ちなみに警察が強制していないと、 ABC予想といったところで、 ４０代の東大卒理科３類から、ウソ乙と言われて終わってしまうので。
ABC予想を検討している３０代のペーターショルツェが金メダルだった問題は、 ２倍にならないという背理を仮定しておいて、ちょっときつい補完定理を発見して証明してそれで作れる
俺が解いた問題は、 補完定理を設定して帰納法でやってもいいし、 ちょっとめんどくさい計算のアイデアで、帰納的にやることが用意されている問題だった
界隈でも知られていないアイデアに基づくテクニックだったので何が書いてるか分からない
俺が解いた問題の模範解答は、AoPSで、５個くらいあって、魅力的だったのは、補完定理で、 計算テクニックによるものは、Messyと書いてあって、 糞女はこの問題に関してまだ見つかってない
と２ちゃんねるに書いてあったが、AoPSに大体のことは出ておる。
一見関係のない定理を特段の議論をしてから適用する場合もあり、この場合、哲学上、 Apllyと呼ばれる。 しかし実関数で、 関数を２倍して対称に入れ替えた関数で変換してさばくのは
フェルマーで素因数分解して１個以外の素数を中にしまう作業や操作が、ものとは思えない。 ４の場合に最終的に無限降下法が出てるのも、出ていているのか、
適当な代数が、Mのなんかの定数倍で押さえられるというIMOの問題で、 あれは計算の技術だから、 ものではないだろう。
抽象的な概念から演繹される数式のさばき方があって、それが分かると、あれの、代数式が、Mという定数倍で押さえられる、Mの最大値を求めることが出来る
アメリカの出場者は、ラグランジュの未定乗数法でやろうとして失敗した 模範解答は、 数式のさばき方で、出た奴も誰もコメントできてなかった
最近の東京の５ちゃんねるでは、驚愕ばやりだが、数学の定理は、真実に対する深い愛情と研究とにおいて、驚愕的な体験によって、定理自体は、 出版されたときに驚愕されるので
その後は陳腐化すると書いていた。 だから、定理と言うものはそんなに大したものではないのだと思った。何で人間が定理を発見するのかは分からない。私が工場にいたときはただ
常識だから突然紙に書いたということで、当たり前のように発見した気がする。それに来して、技術上の驚愕的というのは、要するに、昔みつかっていた論法やものが、そこに突然出て来るという
内容のもので、だいぶんに難しいと思った。散々に問題を適切に追い詰めていって、出て来るべきところに激甚な方法によって出すというようなことではないかと思う。哲学ではそれを美しい技術
数学の証明の技術は次の種類があるが、私は専門家ではないので、全てを知っているわけではない。幾何学をするといいですよと言う風に阪大の富田先生から教わった。
（１）必要最小限の隠れている補助線を引くとただちに答えが見つかる。
（２）補助線を一本引いて出来る。
（３）例えば Induction and Contradiction のように、大昔に発見されていた鉄板だろうと思われるようなもので一見使えそうにないときに使用できる。
他に、特例的な発見と言ったものがあるがまだ議論されていない。
（１）定理は作業中に発見した。しかし、 （３）に該当するものは発見できなかった。 宮地先生は、補完によって出て来るといってますが、 補完定理も、特例的な奴になると
次に、次の事項をこれから強制する。 日向市に住んでいてエロ落ちしているらしいけれど、延岡西高校に、 末永祐治という数学の先生がいた。その者に言わせれば、そんなものは
教えていない。 有村芳郎はバクサイにいて、 ～よ、が口癖である。
警察が強制しているから、 私と、 里見先生や田辺先生が会うことが実現しないようになっている。
法の実質は、暴力による強制であり、 法自体が フィクションという人もいるが、 フィクションを強調しているだけで、フィクションではない。 法はただ法である。
多くの数学者は最も美しい証明を見つけることに意欲を持っており、数学を芸術の一形態と呼ぶことがよくある。
「なんて美しい定理だろう」「なんてエレガントな証明だろう」と言う。
完璧な部屋の形状は、ルネッサンスの建築家によって、壁が一定の比率を持つ長方形の部屋であると定義され、それを「黄金分割」と呼んだ。
建築家は今日でも、最も調和のとれた部屋には黄金分割比があると信じている。
この数値は、多くの数学的現象や構造に現れる (例:フィボナッチ数列の極限)。
レオナルド・ダ・ヴィンチは、均整のとれた人体と顔の黄金分割を観察した。
西洋文化やその他の文明では、均整のとれた人体の黄金分割比は、上部 (へその上) と下部の間（へその下）にある。
モザイクは、固体部分（木、石、ガラスなど）を重なりや隙間なく平らな面に組み立てる芸術形式である。
その洗練された形式では、モザイクには認識可能なパターンがあり、それが 2 つの異なる方向に繰り返され、中心も境界も優先方向も焦点も特定されない。
19 世紀には、数学的な観点から、タイリングには 17 個の対称性しか存在しないことが証明された。
アルハンブラ宮殿のモザイクは、考えられる 17 の対称性をすべて表していることが発見された。
タイリングを形成するとは、2 次元平面を幾何学的形状 (多角形または曲線で囲まれた形状) で重なりなく完全に覆うことを意味する。
タイリング画像を変更せずに仮想的に回転または反射できる場合、タイリングは対称と呼ばれる。
歴史上最も印象的なモザイクは、中世のイスラム世界で活躍した芸術家、特にスペインのアルハンブラ宮殿の美しく洗練されたモザイクを作成した芸術家によって制作された。
アルハンブラ宮殿は、グラナダの旧市街を見下ろす赤土の丘に、13 世紀初頭にムーア人によって建てられた。
ここは、膨大な量の模様、装飾品、書道、石の彫刻など、イスラム教の建築とデザインを展示するものである。
オランダ人芸術家MC エッシャーはアルハンブラ宮殿を 2 度訪れ、宮殿と周囲の中庭のタイルに見られる華やかな模様をスケッチし、カタログ化した。
これは、タイルが一定の間隔で表示または発生することを意味する。
何百年にもわたる熟練した建築、タイル張り、 （調和する力としての）対称性への深い敬意、（宗教と商業のための）幾何学の研究と知識により、17 の考えられる対称性グループすべてがアルハンブラ宮殿の壁に表現される。
自然界の結晶(雪の結晶、鉱物、宝石など) は、秩序と対称性規則に従って原子的に構築される。
非周期的タイリング、つまり周期性のないタイリングは 1960 年代に数学的に可能であることが証明されたが、当時は秩序はあっても周期性を持たない固体構造は自然界には存在しないと考えられていた。
1982 年、イスラエルのテクニオン大学のダン シェクトマン教授は、後に準結晶として知られる自然が作る非周期結晶の存在を予測した。
このような自然で作られた石は、ロシアの山岳地帯で最初に発見された。
2009年、この発見はプリンストン大学の教授であるポール・スタインハートによって科学的に発表された。
2011 年、シェクトマンはその予測によりノーベル化学賞を受賞した。
そうでないなら、美しさは見る人の目にあるか？
経済とは、オペレーションズ・リサーチの手法で分析されることが多い。
つまり消費者は効用最大化、企業は利潤最大化に基づいて行動する。
均衡分析では、財i=1,...,kが存在するもとでD_i(p) = S_i(p)を考える。
このとき、消費者や企業が何を最適化しようとしているのかがわかるだろう。
つまり企業の視点から見れば、どの財をどういう価格でどのくらい売ろうとしているのかによって。
消費者の視点から見れば、どの財をどの価格でどのぐらい買おうとしているのかによって分析できる。
ここで「均衡」とは何かということについて、厚生経済学の基本定理では「パレート効率性」が焦点になる。
なぜこれが「厚生」なのかというと、国民全体の幸福を考える上では「犠牲の元での効率性向上」では困るからである。
誰かが損をした場合、厚生を考える上で補償原理の話に自然に向かうことになるだろう。
ここで経済学では「事実」と「価値」の判断を区別するということが行われてきた。
パレート効率性は「価値」の話であり、均衡分析は「事実」の話である。
価値とは、この場合「なにをすべきか」という論理のことを意味し、事実とは「なんであるか」という論理を意味する。
もし功利主義者が現れれば、パレート効率性とは別の「効率性」を持ち出してくるだろう。
典型的には「ハンコ業界を滅ぼして、電子化を進めよう」といった論調がそれに属する。
経済において、特定の集団が損を被る場合はまず「パレート効率性」について考えなければならないだろう。
「障害者に障害年金を配るのは非効率だ！」と功利主義者が言い始めた場合、厚生経済学者は「障害者の年金を無に帰すことはパレート改善ではない」と言うだろう。
このようにして、「べき論」にも根拠が必要であることがわかる。
一般市民がべき論を語り始めると、それは「自分の利益になるかどうか」という視点になりやすい。
しかし経済は特定の誰かの利になるよう調整されるものではなく、国民全体にとって調整されなければならないだろう。
ゲーム理論的なナッシュ均衡で個々の最適性を議論すると、全体としての効用が低下する恐れがある。
「参加型宇宙」は、宇宙物理学者ジョン・ホイーラーが提唱した概念で、観測者（行為主体）が世界を捉える視点を重視し、世界の記述が必然的に主観的になるというものである。
この概念は量子ベイズ主義（QBism）という量子力学の新しい解釈とも関連がある。
量子ベイズ主義は量子力学に現れる「確率」の概念を、「客観的」なものではなく「主観的」なものとして解釈する。
量子ベイズ主義（QBism）、情報理論、量子観測、エントロピーの関係は非常に深く、それぞれが相互に影響を与えている。
もちろん加法定理倍角の公式微積分の公式とその証明は一通り知っているが、それを使うことで解けるあらゆる問題の全てが解ける状態にあるのかは全くわからないし検証するのも悪魔の証明染みてて難しい
もう受験生でもない自分が高校レベルの参考書や問題集をいつまでも解いたりするべきなのか分かりません。
解いたりするべきだと思う以下の持論を持っているのですが、この持論が正しいかどうか全く確信が持てません。
以下から持論です。
まず、高校で習うことを理解していなければ、大学以降のより専門的なことが理解できないことがあるというのは確かだと思います。
だから私を含めそういう専門的なことを理解したい人は、高校レベルのことの穴を埋めるべきだと思います。
それをせずに大学レベルのことの学習に手を付けても理解できることがある可能性はありますが、その理解したという感じに錯覚の場合が混ざるおそれがでてくると思います。
つまり理解してないのに知った気になる、いわば「何がわからないかわからない」状態に陥る可能性が出てくると思うのです。
そのうえで、そのような大学レベルのことを理解していないと理解できない、より高度な理論を学ぼうとすると、今度はわからないという自覚はあるが「なんでわからないのかわからない」という状態に陥ることになります。
つまりその高度な理論を理解するのに必要なそれに比べれば相対的に基礎的な理論や概念は複数あることも当然考えられ、そのどれを理解してないのかがわからない、特定できない、ということが考えられるわけです。
理解しなければならないこととしては当然高校レベルの部分に穴がある可能性もあるでしょう。
しかし学ぼうとするものを見ても、その理論等の全容を見て、具体的にどんな知識が必要か余すことなく把握することは意外に難しいでしょう。
単に用語の意味を知らないといったことなら、その用語をネット検索で、その用語を使っている理論のなかでもっとも基礎的なものが何かということを目星をつけて、そこから学ぶという方法がとれるでしょう。
しかし学術的文章が理解できない原因は必ずしも「単にこの言葉がわからないから」というような、わかりやすい輪郭を持ったものに由来しているとは限らないと思うわけです。
大学レベルの参考書(学術書)や論文を書く人は受験競争を経験した人なわけですが、受験勉強で得た「考え方のひな型」のようなものが、少なからずその後の思考やそれに基づく文章に影響を与えていると私は考えます。
それはもはや自覚的に認識できるものではない、無意識下にある思考の体系であるわけです。
その「枠組み」を共有していない人にとっては、より言葉を尽くさないとわからないことでも「既知の事項として」という感覚すら持たずに、その部分の言語化をせずに文章を書いている部分があると思います。
特に幾何学が絡む記述は、センス=ひな型・枠組みを持つ著者自身には空気のように当たり前のことであるために記述がシンプルになってる説明に対して、枠組みの無い人にはなんでそうなるのということがまるでわからないということが起こり得ます。
それは著者すれば「なんかこいつすごく察しが悪いな」としか思えないほど逆に理解しがたいことです。
これは大学と高校の話ではなく高校とそれ以下の話なのでたとえが悪いかもしれませんが、たとえば高校物理である部分の角度と別の部分の角度が同じという事実から式を導出することにおいて、なぜ角度が同じといえるかということの説明まではされてないみたいなことがあります。
これは、角度のことについてなら、中学受験の算数の難問を数多く解いてきたりその答に対する解説を見た経験が、まさに有機的に思考の枠組みとして血肉化した書き手自身には、条件反射的に当たり前のように角度が同じだと認識できるが、そうでない人には説明がないとわからない、という枠組みの有無による断絶ともいうべきことが生じているのだと考えられます。
しかし書き手にはすべての読者のレベルに対応することは不可能ですし、そもそも「枠組み」がある当人には1+1=2のレベルで当たり前のようにしか思えない角度の同じさを説明しようという発想すら起こらないから、こうしたことが起こると思うわけです。
そしてこの枠組みは「枠組みが足りてないから理解できないのではないか」という必要性の認識に応じて選択的に必要十分なものを特定して身に着けられる、という性質のものでないわけです。
上記は高校とそれ以下のレベルでの話ですが、大学とそれ以下のレベルという場合でも同じ構造的問題を共有していると思います。
因数分解や極限値を求めるための式変形の定石や、その他証明問題などに対して定石と呼べるような解法から定石ではない解法まで、その問題をこなしてきた人たちにとってはその経験が枠組み化しています。
なのでその人たち自身が見てきた高校レベルの参考書では途中過程として式変形など書かれていたものが、当人が研究者になって書く大学レベルの本ではその本人の主観的に自明性が強すぎてその途中過程を書くような発想すら存在しないわけです。
ですから、大学レベルの本を理解するには、およそ考えられるかぎりのあらゆる高校レベル以下の問題を解いて理解することを片っ端から行いその経験を積んで枠組みとする必要があると思うのです。
でなければ結局「何がわからないかわからない」「なんでわからないかわからない」という状況に陥ると思うわけです。
予備校講師の数学のアドバイスで「数3は数1Aと数2Bの知識がなければ理解できないというが、だからといって数1A・数2Bを完璧してから数3に取り掛かる必要はない。完璧は難しいのだから同時並行でよい」という趣旨のことを書いていたのを見たことがありますが、まずこれは受験勉強に関してのアドバイスであるということに注意するべきだと思います。
つまり点を取るためなら、完璧でない理解でも、ふわっとした理解でもパターンとそれへのあてはめとして、問題は解けてしまうということは十分考えられるからです。人口無能、あるいは中国語の部屋のようなものかもしれません。
一方で学問として理解するということにおいては、厳密に完璧に理解していなければ、ただの知ったかで、それは全く理解してないのと同じ価値しかないのではと思うわけです。まさに論理として理解しているのではなく「受験で点が取れる感覚」でパターン認識としてわかった気になっているだけだと思うからです。
また、大学以降のより専門的なことが理解できれば、高校で習うことはすべて理解できる、というわけでもないと思います。
先ほどの高校物理の例にあるように、高校レベルのことが当たり前になってる人が書いた大学レベルの文章には、高校レベルのことは書いてないことがあるわけです。
そして、どの大学レベルの理論を学ぼうとするかによっては、自分の持つ枠組みで十分にその理論が理解できるということはありえます。ありとあらゆる高校レベルの枠組みを網羅している必要はないわけです。
なので、大学レベルのことは理解してるが、その大学レベルの文章に高校レベルのことは書いてないかもしれないので、その後大学レベルのことにしか触れなかった場合、高校レベルだけど初見だと解けない問題が死ぬまで解けないままであるということが起こり得ると思うわけです。
たかが高校レベルだから、初歩的なんだから受験生じゃなくなっても真面目にとりくむほどではないと思うかもしれません。
しかしそのように単なる初歩的なこととされるかは、意義深いこととされるかは、時代次第の相対的なことではないでしょうか。
2000年以上前ならピタゴラスの定理を理解することも十分意義深いことだったでしょう。
時代が進むことによって、より高度な定理や理論が発見され、既存の定理はそれを理解するためのより初歩的なことと規定し直されるというだけです。
このような文脈での主語はあくまで「人類」です。言い換えれば、人類のうち誰かひとりでも知っていたり理解していたりするようなことを全て知っているような、仮想的な知性にとっての意味付けだと言えると思います。なかば無意識的にこのような仮想的な知性と自分を主語のうえで同化させてこのような「初歩的/意義深い」という価値判断をくだしているにすぎないのではないでしょうか。
あるいは「文明」を擬人化して主語においているとも言えるかもしれません。「文明」にとって、容易に理解できる初歩的なことかどうかということです。
一方実際に世界を経験する主体の単位は「個人」であり、わたしであり、あなたです。
ある時代にとって意義深いけれど今は初歩的なことを理解してない個人がいるならば、人類や文明が主語である場合、それが最先端の知識=未知であるか、または既知となって間もないか、で意義深いかどうかの価値が規定されていたのですから、個人を主語にした場合も同様に考えればよいのではないでしょうか。
つまりその個人が理解してないのなら、それはその個人にとって意義深いことなのだと思うのです。
大学レベルとか高校レベルとか関係なく、「自分が知らないという意味で意義深い」解ける問題を増やしていくことは、この世界や現象に対する理解の解像度をあげると思うのです。
だから大学レベルのことには書いてない高校レベルの問題の解法も赤本や難関大を意図した参考書には無数にあるので、それを解き続けることには、それを飛ばして大学のことを学び始めることを通じては経験できない意義深さがあると思うのです。
まとめれば、高校レベルのことが足りないために大学レベルのことが理解できないこともあれば、大学レベルのことでは身に着けられない高校レベルのこともあるので、結局この世の中をよりよく理解する手段として高校レベルのことも大学レベルのことも等しく有効なら、まずは高校レベルのことを完璧にしなければならないのではないか、と思うわけです。
ここまでが持論の全容です。ですが世の中の成果をあげている科学者の全てがこのようなことをしているとは到底思えないので、自分の考えが合っているなどという確信は全く持てないわけです。
なので、ぜひ、反論できるところがあったら教えてください。
最近はあまり見なくなったけど、少し前は発達障碍当事者の自己語りをネット上でよく見かけた。
自分にはどういう特性があり、どういう問題を抱えてきて、何が困難で、といったような語りだ。
これはかつてネット上の色んな場所で見られ、時に煙たがられてきたようなものだが、当人にとってこれは自分を理解し次の段階に進むために必要なステップである。
このような語りをするのは、大人になってから初めて診断を受けたような人が多い。そういう人は、子供の頃から様々な理不尽に曝されて生きてきている。
人と全く合わなかったり、馴染めなかったり、いじめられたり。自分は普通にしているだけなのに、その原因が分からない。
それが発達障碍という概念を知って、自分を散々苦しめてきた原因はこれだったのか！と天啓を受けたような気分になる。
あの時の理不尽も、この時の違和感も、すべてはこれが原因だった。人生の伏線回収だ。
そして、この大発見を皆に知らせたいという気持ちになり、このことを知ればみんなが自分を見る目も変わるかもしれないと期待をも抱き、語らずにはいられなくなってしまうのだ。
俺自身もそうだった。俺はネット上ではなく精神科医に対して自己語りをしたのであるが、A4用紙に20ページぐらい、自分の半生の出来事を一心不乱に書き続け、病院に持参したものである。
そのような「大発見」は、当人にとっては生き方を左右するレベルの出来事だが、赤の他人にとってはどうでもいいようなことである。
しかし発達障碍の当事者は、発達障碍を持つがゆえに、それが他人にとってどうでもいいことであるとは気づかない。
そのため、まるで数学の新しい定理を発見したかのような気持ちで、その発見は他人にとっても価値があるものだと確信し、自己語りを公開するのである。
そのように自己語りをしても、周りからの反応はほとんどない。しかし、そうして言葉を紡ぐプロセスを経ることで、当事者は自分自身を深く理解し、次のステップに進むことができる。
また自己語りに関する反応が薄いことで、ああこれは他人にとって価値のない情報なんだと、当人もやっと理解することができる。自己語りは、当事者自身のために必要なことなのだ。
最近、こうした自己語りが少ないのは幼少期から診断を受ける人が増えてきたためだと思う。子供の頃から発達障碍の自覚があれば、大人になって急に天啓を受けることもないのだろう。
また発達障碍の概念が十分に知れ渡ったために、他人に知らせたいという動機も薄くなっているのだと思う。
しかし今でもそうした語りをまったく見ないわけではない。もしそのような自己語りを見かけたら、それは当人にとって必要なステップなのだと理解してほしい。
「でも合格するためには東大用のテクニックを学ぶことが肝心だよね」みたいなブコメがついてたけど、自分の実感とは違いました。
自分が受験生だったのは数十年前なので、今は変わっているのかも知れませんが。
受験数学でいくと、ある程度のレベルまでの大学だと、テクニックが役立ちます。
東大と京大は、そういうテクニックは役に立たなくて、本当に数学的に考える力を見る問題を出してました。
教科書に書かれていない定理、公式を使って解く問題はありません。
重要なのは、その定理、公式をどう組み合わせて答えを導き出すか。
本当に基本に立ち返って、定理、公式を深く理解していないと、テクニックを外れた問題には対応できないです。
「東大に受かるには受験テクニックが必要なんだろ」というレベルではなく、その受験テクニックも知った上で、基本に立ち返って組み立て直す「考える頭」が必要になります。
なのでレベルが上がれば上がるほど「教科書をやれば大丈夫」になっていくんじゃないかなあ。
「受験数学はテクニック」はある程度のレベルまでは真実だと思います。
でも、それは、ある程度だよ。
