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はてなキーワード: 代数とは
三角関数やその加法定理を教える事や測量などへの応用を教える事まではいいとしておいて…
数IIIや数Cまで学習する高校生には三角関数の微分（と積分）まで教えるのが当然という風潮があるがそれでいいのか少し疑問はある
というのも三角関数の微分というのは高校生が学習するには難しい部分が多分に含まれているからだ。加法定理より難しい
まず sinx/x=1 (x→0) さえ証明できれば加法定理を使ってsinxの微分が分かり
その後に他の関数の微分可能性や微積分が求まるのは事実である。しかしsinx/xの極限については証明が中々難しい
S^1を合同変換群の制限と同型になるような群とみなして実数群R^1からS^1への準同型のパラメーター表示として与えられるものやその亜種が
sinx,cosxの幾何的な定義であり高校数学の三角関数もこの類に連なる定義を採用している。この場合はsinx/xの極限は直ちに求まるものではなく
高校数学の範囲で証明しようとするとうっかり循環論法になる事がある。証明が台無しになるのを避けるのが中々難しいのだ。
一方で代数関数の積分として逆三角関数を定義してそこから三角関数を定義する流儀もあり、高木貞治の解析概論ではこの定義を採用している。
この場合は微積分はほぼ自明なものとして導かれるが上記の幾何的な定義との同値性を示さない事には
三角関数の幾何的なお話が全く出来なくなってしまい教育として足りなくなってしまう。
このように三角関数はどのように定義しようが微積分が難しいか幾何的な性質との関係を示すのが難しいかの何れかの困難が立ちはだかる物なのである。
そこを曖昧なままにして大雑把に教えるやり方もあるが、その場合は当の高校生達に「数学が厳密な学問ってギャグなの？」と笑われても仕方ないものになる。
結局どうすればいいのやら…
ラテン語・古代ギリシャ語・サンスクリット語のうち、最低どれか１つは読めるようになった方が良いとは思う。
少し前に、ギリシア詞華集に出てくる女性詩人をヒロインにしたマンガが一部で流行って、それで古典ギリシャ語に手を出した人が相当数いたみたいだが、何らかのきっかけでこういう古典言語に入ると広い世界が拡がってる。
それはともかく、たとえばHaskellを勉強して遅延評価関数型言語の妙味を知り、Rustを勉強してメモリ管理の大変さを知り、Goを勉強してCSP代数の面白さを再認識する、などの知的好奇心を満足させる意味で、各言語の特徴を把握した上で勉強するのはすごく楽しいんじゃないだろうか。
さらにバックグラウンドとして、簡単でも良いので半導体ゲートと同期回路がどうCPUやメモリを作り出していったか、を知ると、よりこれらの「プログラミング言語」というものの妙味を味わえるだろう。
金を儲けたければ、浅く広く勉強した上で、どれか１つの言語に絞って、深く、深く、ライブラリと同じ機能は自前で用意できる程度まで深められたなら、おそらく食いっぱぐれはない。
正確には大学受験で物理・化学・生物・地学などの理科目を勉強しない人達だけど
そういう人達が数学に関心が薄い傾向があるのは仕方ないと思う。
確かに理科目を受験の科目として殆ど勉強しなくても大学入試で二次試験でも数学の試験をやる人達はいる。
しかしそのような人達にとって数学というのはあくまで数学単体で完結してしまっている。
一方で理科目は数学をかなり使っていて受験でそれが要求される人にとって
数学が応用される科目でもある状況と比べるとぜんぜん違う。
理科目以外では例えば地理などで要求される数学なんて僅かだし他の科目はもっと少ない。
だから理科目を勉強しない人達にとって数学のウェイトが小さいのは仕方ないとも思う…
これで大学に入ったら経済学で微積分だの線形代数だのひっきりなしに要求されるんだよな…
だからといって経済学部を目指してる高校生が数3数Cレベルの微積分やってるのを大学に評価する余裕はない
代数関数の積分に三角関数が出てくるのを当たり前に知ってる人達はAO入試とかで若干受け入れるしかない
いやマジで理科目を受験で要求しない学部でどうやって数学の応用の勉強を評価したらいいんだろうな…
小説だって何巻というのを無視して途中の巻から読めば作中特有の概念や人物を示す固有名詞でつまづくのは普通で、そうならないように何巻とか上下巻みたいな目印がある。
しかし数学書はそういうのがなく仕方なく手に取ってみても行単位で見知らぬ固有名詞がぼんぼん出て来る。予備知識を手に入れようにも「前の巻」という概念自体がどうにもならない。
岩波基礎(!?)数学叢書だかいうのに微分多様体の本があったと思うけどはしがきには基本的な解析数学と代数学と微積分学を既知のものとして扱っていると書いてあったと思う。
しかしたとえばお前の言う基本的な代数学とは具体的にどこまでの範囲を指しているんだ？ていうか何の本を読めばいい？てかお前が大学生時代読んできた本のなかでその範囲に属するものを列挙すりゃそれで済むし確実なのになぜそうしない？という言葉がつい漏れる。
だって同じ岩波基礎の本でもアフィン代数みたいな本があってこれが大学数学に代数のスタートラインにあたるものなのは確実だろうがそこのはしがきにはその応用は標準形は別の本にまとめられてると書いてあって確かにジョルダン標準形とか二次形式は別の本になっている。
しかしこれらもそれなりのボリュームがあるわけで読んでやっとのことで理解した後に「実はそこまで代数を掘り下げて学ぶ必要はなかった」と言われたんじゃ遅いわけ。
興味ある分野へ最短経路で学べるようになりたい人も当然多いわけで、実は不必要なのに無駄な学習に時間注ぎたくないわな。そわそわしてもこれは必要な学習だということだから頑張れるわけで。
高校みたいに数１とか数２とかなってて高校行ってなくて道筋が明瞭でどうとでも独学できるのとはわけが違う。しかも全てのはしがきに予備知識として学ぶべきものが書いてあるわけじゃなくこのはしがきを頼りとした芋づる式で学ぶべき順番に見当をつける方法をもってしても袋小路に入ることもあるという…。んでどうでもいいことだが俺の学びたいものにベクトル解析が必要なのかいまだに判断がつかない。
日本語に一家言ある人や政治的な思想がある人は検索してるうち日本語学や法律学の論文に当たることもあるだろうけど、そもそも興味があるのもあって字面は難しそうでもじっくり読めば理解できなかったということはなかったはず。でも数学は知識が無い人を門前払いです…。
ドラクエだかでファルスでコクーンなんていうスラングに象徴されてる現象もプレイすればゲーム展開に沿って難なく解消されるわけで要するにそんなのよりずっとタチが悪いのが大学数学の現状
数学や物理を大人になって学び直したら、「そんなことあるの？」とびっくりした概念を書いていく。
地球儀を切り開いて、平面にしようとしても、２次元の世界地図はできません。
という定理。
３次元⇨２次元への距離を保った変換はできませんということを示しており、これを発展させた弟子のリーマンが、「じゃあ、４次元から３次元とか、もっと高次元でも同じじゃない？」とリーマン幾何学を創出。後の相対性理論（空間が曲がる）の記述へと繋がる。
２位 論理回路
信号機とかのプログラムを電気回路で表現するにはどうすればいいのか？ということの理論。
４ビットの信号（0101みたいなの）だと、１６通り応答が必要となる。簡単に考えれば１６通りの設計が必要そうだけど、カルノー図を使った簡易化という謎のテクニックにより、なんとかなり簡単に電気回路を設計することができる。
物理では、位置エネルギーとか運動エネルギーとか謎のエネルギーという量が出てくる。
なんと、解析力学では、「謎のエネルギーの方が本質であり、運動とか位置とかはエネルギーから導かれる。エネルギーが先、運動や位置が後」という理論。
４位 再起構文
再起構文というのを書くと、ナルトの「多重影分身」みたいなプログラムが書けたりする。
いまだに原理を理解できていないけど、結果的にそうなってる。不思議すぎる。
なんと、光の半分くらいまでしか画像を読み取ることができない。
光以外にも、エコー（超音波）で体の中を観れるけど、あれは超音波の波長が0.5mmとかなら、0.25mmまでの物しか判別できない。
だから何？と思ったけど、半導体制作で「波長が短い（nm）の光を使って半導体を描くので、この理論を使います」とか、いろんなところでかなり効いてくる理論みたい
６位 ５次以上の方程式の解の公式（代数的な表現の）はない。（ガロア理論）
これは証明をぜひ追ってみて欲しい。
実際に、これらの手法が提案されたときは数学的な記述ができなくて、「それ本当に成り立つの？なぜ？」ということで数学者が紛糾。
量子力学とかも物理の不安定な理解が、数学的にどう不安定なのかが納得できる。
広田良吾先生の工学的解法を、佐藤幹夫先生が数学的に示すところが面白いので、是非是非。
https://anond.hatelabo.jp/20210728111035
上記のエントリでヒルベルトやガロアに並ぶ数学者について質問されたので例示するけど
その前に何故ヒルベルト・ガロアを挙げたかについても説明します。
まずヒルベルトは集合論に基づく20世紀前半の様々な数学理論の構築に重大な貢献をした人として挙げた。
その中でヒルベルトみたいな貢献をしている人としてジェイコブ・ルーリーという数学者がいる。
現在の代数理論の根本的な部分から新しい基礎を作り位相的場の理論や代数幾何学の理論の構築まで行ってるのは
次にガロアは方程式が解ける解けないという性質の裏に隠れた対称性を見事に発見した発想力の凄い人として挙げたけど
この隠れた対称性を見つけるという発想は現在の様々な数学理論に影響が及んでいる。
現在ガロアのような発想をした人としてエドワード・ウィッテンという数学者がいる。
彼は物理学者という意見も多いが数学者としても凄いのは間違いないと思う。
ウィッテンは様々な幾何的な不変量に対して物理的なモデルを考える事で別の求め方が出来る事を発見した。
こうして今まで重要と考えられてきた様々な幾何的な対象について物理的なモデルを用いて
今まで分かって無かった性質を見つけるという方法は現在の幾何において重要なやり方として大きく発展している。
この多大な影響を及ぼした発想をしたウィッテンはメチャクチャ凄い数学者だと思う。
以上現代の数学者でヒルベルトくらい凄い数学者の一人としてジェイコブ・ルーリーと
https://anond.hatelabo.jp/20210729213640
数学科を卒業した人でこの人を知らない奴は数学をきちんと勉強していない…
数学は大体「代数・幾何・解析・その他」の4つに分けられるけど
代数分野のかなりの基礎はこの人が関わっていると言っても過言じゃない。
まぁエミー・ネーターという人の話はここまでにしておくとして
じゃあその後から今現在にいたるまでエミー・ネーターに近いってレベルか
それ以上に凄い女性数学者がいたのかと言うといないと言っていいと思う。
これに異議を唱える人も殆どいない気がする。
100年経ってもエミー・ネーターのような人が現れていないのは
もしかしたら女性が数学者に取り組む環境は100年前と大して変わってないからかもしれない。
今が違うというなら大量に女性数学者が現れて確率的に一人は並ぶような人が出てるんじゃないだろうか。
ほんと、なんていったらいいんだろうな。
〇〇に対してと聞かれたら、〇〇が1だとした場合の割合を考えなくては行けないから、○○を1にするためには〇〇の数そのもので割る必要があるよね。
これとかあまりにもセンスを感じられない説明の仕方というか、「〇〇が1だとした場合」とかいう謎操作を導入するせいで何でそんなことをする必要があるのかという聞く側からすれば余計な問題解決が発生しているし、「〇〇が1だとした場合の割合」といって「割合」の説明に「割合」を使ってるというトートロジーに陥ってるし、謎操作の理由を推定する問題解決をしない限り「○○を1にするためには〇〇の数そのもので割る必要があるよね」とかいう説明の理解には進めないんだよな。
「aのbに対する割合」という言葉は「bの何倍がaですか？」なわけで、a = rbがまず先にあると考えるのが自然だろう。この方程式を解くのに両辺をbで割ってももちろんいいわけだが、そんなものは代数の演算規則が満たす性質に過ぎないわけで、この方程式を解くのにそれを使わなければならないわけではない。数学的な規則は頭の中のイメージや表現したい構造を公理化しただけであって、先にあるのは公理ではなくイメージや構造の方だ。このくらいの簡単な話はわざわざ形式化しなくてもイメージをイメージのまま言語化せずに頭の中で操作して結論を出せるものだ。そのイメージの操作を形式化するのは別の作業だ。いきなり形式から入るのは形式化の訓練を十分に積んでいるから可能なのであって、それは小学生にやらせることではないだろう。
数学（というか応用数学）で学ぶべきことは論理ではなく「現象を数学的に記述する」ということだと思う。いわゆる「文系」の人は往々にして数学の「公式」などを唯一絶対の真理みたいに思ってるんだよな。でも現実はそうではない。
数学のキモは現実の現象や構造をいかに数学的に扱える形に定式化するかであって、分かってない人には単なる事実の羅列のように見える公理も実際にはどのような現象や構造を記述したいのかという気持ちがあって作られている。例えば測度論的確率論の公理は「ある物事が一定の割合で観測される」という現象を数学的に記述するために作られている。それは公理系としてはもちろん無矛盾だけど、世の中にあるランダムな現象の全てを扱えるわけではない。実際量子的な現象は測度論的確率論の枠組みには収まらないランダムネスを持っているから、量子確率論とか代数的確率論と呼ばれる別の枠組みが必要になる。
同級生にベーマガとかプログラムポシェットに掲載される常連がいて、
というか、今から考えてみてもスゲー奴だよなぁ、偏差値高い高専行ったけど
そういう他人見ててスゲーなと思いつつ大学までプログラミングはやらんかった
大学入ってCをやるも何かが作れる感じではなかった
でも、描画が遅くて自分よりメガデモとか書けるような人の方がバリバリ高速なの書いてた
学部1年の頃はまだCというかまともなプログラムも書けなかったけど、
情報化じゃないから論理回路とか材料工学とか材料力学もやったけど、
建築工学の建築力学（材料力学）のモーメントとかそのまま使える
あと、大学入って実家で親が捨てようとしてたMSXを持って帰って、
MSX買ったときに親がマシン語の本とかMSXの規格のマニュアルとか買ってたので、
それを再勉強したら、子供の頃理解できなかったことが普通に理解できるようになってた
自分のMSXにはマシン語開発の簡易的な環境が入ってたのも大きい
それで理解が進んだのでZ80のマイコンボードを自分で組んで、
メインテーマについては、みなさんの温かいコメント・厳しいコメントでたくさん勉強させてもらいました。ありがとう。
ほかに、off-topic なコメントについていくつかコメント返しをしたかったので、します。
カーディーラーのああーっお客様ーっ！っていう感じ苦手でさっさと話し切り上げたくなるので担当者と信頼関係を築ける増田羨ましい。
これとブコメ見て、カーディーラーって信頼できるとこもあるんだ…と目から鱗というか悲しくなった
自分は正規ディーラーに車検の時だけお世話になる形だが、毎回不要なオイル交換を勧めてくる
信頼できるディーラー探すのってどうやるんだろう
今どきの壊れにくいクルマに乗っていて、新車購入と法定点検くらいしかつきあいがないディーラーなら、正直そこまで信頼関係はなくてもいいんじゃないでしょうか。
でも、ナメられて雑な扱いになったりいらんもん買わされたりするのがいやだったら、多少はクルマのことをわかっていたほうがいいかもですね…。
「うるさくはないがごまかしはきかない、それでいて節目節目でちゃんと金を使う客」という位置づけだと大事にされると思います。ほかの業種にも言えそうですが…。
でもオイル交換はしてください…マメに…（よそでしてるのかな？）。
今どきの壊れにくいクルマに乗っているぶんにはそうでしょう。私が好きで乗ってるクルマは古いししょっちゅう壊れるので、どうしても専門スタッフと専門的な相談をすることになります。同じ故障の修理でも応急処置で済ますかお金かけて根本的に直すか、とか、そこを直すんだったらついでにここも交換するいい機会じゃないか、とか（例：タイベル換えるついでにエンジンマウントも替えたらエンジン降ろす工賃が一回で済むよ）。私の知識が足りなくて根掘り葉掘り質問するからというのもありますが。
ちなみに私の担当さんは、私が「ここは替えなくていいの？もし劣化してたら替えたいんだけど」って言っても、交換の必要がなければ「まだいいです」と却下してくれます。
「おとのうた」！…おお、「昵懇」とか書く人なのか。そして「こやつ、できる」池波正太郎好きでしょ？（おとのう=訪う：オトナウ→オトナッタのウ音便。訪問したの意）
ふざけて使った文語表現を拾ってもらえてうれしい。解説サンクス
ホンダかスバルだな。トヨタはノルマがきつい営業が黙っちゃいないし、日産はゴーンが滅茶苦茶にしたから。車種はS2000かGDB辺りと推測。
とてもいい線行っている！ 惜しい！ 推測の方向性は完全に正しい！
えーっ、一行目に！一行目に！ 相談があって訪れたと書いてるのに！ 女性スタッフとデレデレ無駄話だけして帰ったと思ったの？
ていうか会話の具体的な内容は一文字も書いてないのに、逆にどこを見て「無駄話」と判断したんだろう。
ちなみに彼女が作ってくれた部品代数万円＋工賃数万円の見積もりにOK出して退店しました。
見積もりに一発OK出した時に彼女が小さく「えっ」と声を漏らしたのは私は聞き逃さなかった。どんな心境の「えっ」だったのかな。
よくアニソンとかの歌詞で「解けない方程式」みたいなフレーズが出てくるが、代数方程式だって5次方程式（たった5次！）以上になったら一般には解けないし、微分方程式に至っては「ミレニアム懸賞問題」として100万ドルの懸賞金が懸かってたりする難しさなわけで、たいていの方程式は解けなくて当たり前なんだよ！って、聞くたびにツッコミたくなる。
つまり、「解ける方程式」なんてほとんど無いのだから、「解けない方程式」に悩むなんて、空が飛べる翼がないことに悩むくらい実現不可能な空想であり、そもそも悩み方として間違っている。
というかまずは、お前の歌詞で求める「解」は近似解ではダメなのか、どうしてダメなのか、歌詞はせいぜい10分も無いけど、小一時間膝を付き合わせて問い詰めたい。ゼミを開いてお前の意図を詳らかにしたい。
ガロア群が可解にならないからって諦める前に、最適化のための近似アルゴリズムを試せよ。ニュートン法でも最急降下法でもいいから、なんか試せよ。微分不可能か知らないが、それでもなんかアルゴリズム考えろよ。
色々試した結果がそれでもダメだったら、初めてそのことを歌詞に表せよ。方程式が「解けない」んじゃなく、近似さえもできなくなったら、その内容を個別具体的に歌詞に表せ。そうしたら、俺もそのためのアルゴリズムを一緒に悩んでやろうじゃねぇか。
というか、方程式として問題を数式に表すことはできたんだよな。しかも歌詞という万民に伝わる形で。そこは偉いな。尊敬する。問題は多くの人間に共有すべきだ。
問題を数学の手法で解く場合、一番重要なのは方程式を解くなどの計算手法じゃない。問題を数式に落とし込む「問題の定式化」の部分が一番重要なんだ。だって、そもそも数式にできなかったら、どんな立派な手法があろうと問題なんて解けやしないだろう？
だからこそ、お前の歌詞は本当に惜しいんだよ！「解けない」ながらも、方程式として問題を定式化できたんだろう？定式化できたら問題は8割解けたも同然なんだ。
だから、お前の悩むべきは方程式を「解けない」と思い込んでいるその姿勢だ。
解けないことが問題なのではなく、妥協できないお前のプライドこそ問題なんだ。もう少し妥協して、近似解としてのアプローチに悩んでみてもいいんじゃないか？「一番じゃなきゃダメなんですか」なんて、お前以外の誰も求めてないかもしれないじゃないか。
なに？一番であることはアニソンとしての、つまり物語としての要求だって？
それなら、常に一番として勝ち続けないと存在しえない主人公、そしてそれを称える曲なんてアルゴリズム的にもう古いと、作者か作詞家かに最新の論文ごと叩きつけてやれ！
十全な状態で戦えずに、ひねった手法でなんとかやり込める、そういう近似解法としての物語が今や手法のトレンドじゃないのか？真っ正面から物語を「解く」んじゃなく、端からだんだんとアルゴリズムで解を詰めていく、それ以上は妥協する、そういう姿勢がこれからの物語像だと思うんだよ。
とにかく、こんなに絡み合った現代は「解けない方程式」だらけなんだ。正面から方程式を解くなんて今日び流行らねぇよ。だから、「解けない」という悩みを脱し、近似アルゴリズムで必死に解を詰めようとするお前の歌詞こそ、論文として採択されうる価値を持つものだし、これからの物語としてのロールモデルにだってなるはずだ。
＞ 数学の研究者になるような人はみんなフィールズ賞とか取れるチャンスはある。
そう言われると、そりゃ可能性って言えばゼロじゃないけど・・・くらいの受け止め方になってしまうな。
理Iに入れる人は頑張れば数学者になれる、っていうのは、まあ頑張れば数学の修士取るくらいは出来るよね、
というのと、ポスドク重ねつつもどこかでどこかで大学の教員になって研究職として生活していけるよね、
というのでは意味合いがかなり変わってくるというか、後者も確かに頑張れば可能かもしれないけど、
本当にそれ頑張っちゃう？ 自分の適性はよく考えた方がいいよ？ という感じ。
努力も才能のうちみたいな面もあるけど、数学に限らず研究職を続けていくには「情熱」が欠かせないというのと、
個人的な経験として東大理Iは受験数学としての一通りのことをミスの無いレベルで身に付ければいいだけで（二次試験で全問完答できる必要もない）、
そこから先の数学的な概念操作についていけるかは、かなり相性に左右されるところだと思う。
特に受験数学では置換群のさわり位しか出てこない代数学(群・環論)は、受験の微積や行列計算とはかなり異なる世界なので、
大学で解析と代数の両方を抵抗感無く楽しめるなら、その「楽しい」を伸ばしていって数学専攻するのも適性あるかもね。
苦手意識ありつつも努力してちゃんと克服できるなら、それはそれでタフネスとガッツがあって素晴らしいんだけど、
その強みは数学に限らず広く役に立つ武器なので研究職に思い入れが無ければ就職したら？ と思ってしまう。
自分は理I入った時は数学好きだったけど、その後に東大数理(修士)まで行ったうえで、これ以上数学を専攻していくのはムリだな、
周りの人が優秀だし真面目だし自分はそこまで数学好きじゃなかった、研究に情熱を傾けられるほどの思い入れが無い・・・
箇条書きにしたら、とんでもない家庭だなと。私は長男
1987年 父親ほのぼのレイク、アイク、武富士、ワイドから数百万の借金。祖父が返済
1989年 父親武富士、ワイドから数百万借金。母親の両親が返済。消費者金融チンピラが家に乗り込んで来て布団を破かれた
父への尊敬がないからとの理由と叱責。朝5時まで母親、長男を正座させ祖父と父親は4リッターほどの焼酎を飲み干す
1995年 父親、アコム、武富士から数十万の借金。長男学資保険を解約し支払い
2000年 正月帰省時、出前の寿司のお金が支払えず地元の寿司屋から催促。2ヶ月分割
2001年 祖母が死去。葬式が貧相だと親戚一同から怒られる。通夜、葬式時のお礼なし食事なし
