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はてなキーワード: 数学者とは
これは本質的な問で、哲学では「規則の問題」あるいは「規則のパラドックス」として知られる古典的な問題意識です。「規則の問題」の議論では足し算などが例として良く用いられますが、ここでは形式的な証明を例に説明します。
形式的な証明体系において、「推論規則」あるいは「公理」は無限種類あるため一覧表を作ることができません。そのため通常は「推論規則型（rule schema）」や「公理型（axiom schema）」と呼ばれる、無限個の論理式をひとつの式で代表したものを使って有限っぽく表示します。例えば、ツリーにある「 A と A → B が証明可能なら B が証明可能」というのは規則スキーマです。これは A と B がどのような論理式でも使える規則型であり、（A と B を具体的な論理式に置換して得られる）無限種類の規則の集まりを有限で表現したものです。例えば「x=0 と x=0 → x^2=0 が証明可能なら x^2=0 が証明可能」は規則の例です。
そして問は、まさに規則型や公理型から規則を得る方法はどうして合意できるのか、ということだと思います。例えば「x=0→x^2=0 と x=0→x^2=0→-x=0 が証明可能なら -x=0 が証明可能」はさきほどの規則型の形に当てはまらないものなのですが、この "事実" を全員が了解しているのがどういう理屈によるのか、というのが問です。そしてこれは正しく「規則の問題」です。
ここからは私見ですが、「規則型から規則を得る方法について全員が一致する見解に到れる」というのは幻想でしょう。ただ、現実に数学を営む上では「規則型から規則を得る方法について数学者の見解は一致している」と思い込んでもこれまで大きな問題を生じてはいないので、問題が生じるまでは別に気にしなくていいのではないか、という感じではないかと思います。元々の問であった教師と生徒の例についていえば、数学者コミュニティに近しい立場である教師がコミュニティの流儀を教えている、ということになるのではないでしょうか。
現代の数学者のほとんどは形式化された数学の体系であるツェルメロ-フレンケル集合論ZFCを使っています.
言及されている通り, ゲーデルの不完全性定理によってZFCが無矛盾であるならばZFCは自身の無矛盾性を証明することができません. ZFCが矛盾している可能性はあります. ZFCの無矛盾性に関しては, 一方でZFCを用いて多くの数学者が数学をしている中でまだ矛盾が見つかってないという傍証もあります.
仮に矛盾が見つかってしまった場合, その後の方向性はいくつか考えられます:
1. その矛盾の証明をよく調べて, その原因を取り除いてZFCより弱い新たな数学体系を構築する.
これに関しては普段の数学をする際にフルでZFCを使っているわけではないので, 合理的なZFCより弱い体系を見つけることができればこれまでの数学を続けることができるかも知れません.
この場合は数学がどうなるか想像がつきません. 数学にとって大打撃になると思います.
他にもZFC以外の別の数学の形式的な基礎づけを与えようという動きもあります. またZFCより改善させるような新しい体系, 公理形を見つける方向の研究もあります.
哲学など数学以外のことは専門外のため, あくまで数学に関することだけ言及させていただきます.
ユークリッド幾何学に言及されているように数学の歴史は紀元前まで遡りますが, 数学の形式化が意識され始めたのは1900年代以降と最近の話です. 主にヒルベルトによって主導されたものだと私は理解しています. (もちろん多くの数学者がこのプログラムに関わってきました. ) 数学の形式化や形式主義で調べると参考になると思います.
数学的な内容に関して言及したいことは多くありますが, かいつまんで述べさせていただきます.
(あくまでこれは元の記事が間違っているなどと主張しているわけではないです. 現代の数学の考え方や雰囲気の一部を分かっていただければ幸いです. )
現代の形式化された数学は原理的には決められたルール(公理と推論規則)を用いて行われる一連の手続きです. それらの「意味」が何かは一旦全て忘れてください. ここで公理とはあらかじめ定められた記号列で, 推論規則とはいくつかの文字列を用いて新しい文字列を生み出す操作です, 例えば文字列A→BとAが与えられたときに文字列Bを得る操作があります. 定理(数学的命題)とはこの操作によって生み出される文字列です. これらの操作は数学における証明を形式的に記述したものになっています. 論理式などもこの形式化のもとで特定の条件を満たす文字列として定義されます. 例えば論理式Pの否定は¬Pという文字列です. (ここでは否定を表すための記号として¬という文字列を用いています. )
ここまで文字列だけを考えた形式的なものですが, 構造やモデルを使うことによってこれらの文字列を解釈する(つまり意味を与える)ことができます. (詳細は省きます. ) 構造やモデルを定めることによって論理式の意味が一意的に定まります. またそれらの取り方を変えることによって意味が変わることもあります.
これの考え方によって(数学的な)意味は形式から分離されています. さらに気になる場合はゲーデルの完全性定理などを見てください.
そして適切な公理と推論規則を定めることにより数学そのものを形式的に扱うことできます. その適切な公理はツェルメロ-フレンケル集合論(ZFC)と呼ばれており, 現在の数学者はこのZFCを用いて数学をしています. (一部, 圏論などでZFCに収まらない議論があると聞きますが, それらもZFCの適切な拡張を考えることで解決できます. )
つまり, これまでに書かれた数学の証明などは全てこのZFCを用いることで文字列の操作に書き換えることができます.
一方で数学の論文は普段の言葉(自然言語)を使って書かれます. これは本当に全て文字列に書き換えることをした場合, 可読性が著しく落ち, また分量も膨大になるため人が読めないためです. しかし証明は自然言語で書きつつも, いざとなったら形式的に文字列に書き換えることができるという前提に立っています. そしてこれは理論的には可能であり, 数学の厳密性を担保しています.
「定義の一意性」に関してですが私自身が元記事の要点を完全に理解しているわけではないのですが, 数学に関していうとある数学的概念の定義が複数あることはよくあります. もちろんその複数ある定義が同値であることを証明されなければなりません. ここで同値というのはある数学的対象Aが定義Pと定義Qで与えられていた時に, 「Aが定義Pを満たすならば, 定義Qを満たす. またAが定義Qを満たすならば定義Pを満たす. 」ということです. 実際に使う際には用途に合った定義を用いることになります. それらは同値なのでどれを選んでも問題ないです.
以上がざっくりとした形式化された数学に関してです. 参考になれば幸いです.
追記: これは筆者個人の考えですが, 数学と哲学の議論はしっかりと分離してなされるべきだと考えています. もちろん相互の交流はなされるべきですが, 両者を混同するのは誤解や誤りの原因になると思います.
倉田真由美氏「ミス日本」の定義に疑問 ウクライナ国籍変更モデル優勝に「日本的美しさと違う」 - 芸能 : 日刊スポーツ
https://b.hatena.ne.jp/entry/s/www.nikkansports.com/entertainment/news/202401240000719.html
differential
ミス日本のご本人のページ見てきた。
『5歳の頃から日本で育ったため中身は日本人そのものです。 そのギャップから自身のアイデンティティに悩みました』
2024/01/25
この混乱しきったコメントが☆１位。
はてな―って善人を目指す意思だけはあるけど頭が悪いんだよね。論点が切り分けられない。
なんの問題についてもきちんと自分の脳を使って考えるということを怠り
「何と書いたら善人席に座れるか」みたいなパターン処理をやり過ぎてるせいでこうなってると思う。
この「ｼﾞﾝｼｭｻﾍﾞﾂﾀﾞｰ！」も「可哀想な元ガイジン女に同情して見せるのがここでの正着」って思ってるだけ。
当人達は多分イイコト言ってる善人のつもり。
じゃあ切り分けて行こうな。
日本に帰化してて愛国心も強くて日本人としてのアイデンティティを持ってるのに
モデル業で「ミス日本」という一つの最高峰をゲットした功績に対して一部の日本人から疑問を呈されてて
生まれ持ったウクライナの血の彫の深い容姿を否定的に論評されてて可哀想。
肉体的にウクライナ人のカロリーナさんが「日本的な美」って言われてもどうしようもないのに
こんな感じだよな？
以下に解説していく。
倉田が「こんな奴日本人じゃねえ！」って言ってるならそれは酷いぜ？
それなら俺も倉田を許さん。
椎野カロリーナさん（26）さんはきっちり帰化していて他に母国を持たない日本人だ。
何より自分の所属する日本の社会や風土や文化を愛していて貢献しようという意欲に溢れる愛国的な日本人だ。
これだけの条件を満たしてるなら１００点満点超えてる。どんな肌の色やどんな顔してようが仲間であり大事な同胞だよ。
でも倉田が言ってるのはこうだ。
カロリーナさんがどれほど日本にコミットしている愛国的日本人であろうとも、精神と容姿は別のことだ。
愛国心だけで優勝できるパトリオットコンテストじゃねえんだよ。
これが認められねえって言うなら恐ろしいぞ。
おっさんの俺が「私は容姿端麗な１８歳女子高生です」つってミスコンや女子大入試に参戦するぞ。
外形的な要件の欠格を言われて「アイデンティティを否定された！」って言い出すあのクソみたいな論法やめような。
（ここの感覚を切り分けられないアホがよくミスコン反対とかもやってる。）
まして白人の日本人とか黒人の日本人とかだと、小中学校で容姿をあーだこーだ言われるような可哀想なイメージがあるよな。
https://www.instagram.com/karolina0824/
美人業界の人、己の容貌で人生を渡ると覚悟した美人競技出場者だ。
こういう人が容姿について論評されるのは不当でも何でもないし可哀想でもない。
否定的な論評であってもそうだ。
一般人に身体が弱いとか脚が遅いとか太ってるとか言ったらいけないが、プロ野球選手になら別に言ってもいい。
「そんな体重だから守備が下手なんだよ」とか「太ってても打球飛んでねーんだから痩せろよ」とか言っていい。
まして倉田の「美人だけど日本的な美じゃないんだよね」なんてまるっきりセーフの範囲のただの感想だろ。
テーマに有利不利があるなんて当たり前だろ。
先天的に不利なんですね、不運ですね、というだけだ。
そういうことと変わらん。
モデルやりたくて美人なカロリーナさんは十分恵まれてる強者で、
「でも「日本的な美」ってテーマでこのでっかい目や口や高い鼻はどうなの」と言われている、
こんなもん不当でも可哀想でも何でもねえわ。
濃い顔が好感される傾向のミスコン狙って無双してやればいいじゃねえか。
もう一回☆一位コメ貼るけどさ、
differential
ミス日本のご本人のページ見てきた。
『5歳の頃から日本で育ったため中身は日本人そのものです。 そのギャップから自身のアイデンティティに悩みました』
2024/01/25
倉田はカロリーナさんが日本人であることやそのアイデンティティについては一言も否定してねーだろ。
単にカロリーナさんの肉体的造型及び当日の髪や化粧や表現について
「私の考える日本的な美ではない」つってんだ。
これのどこが人種差別なんだよ？
繰り返しになるがミスコンってのは自分の肉体で勝負する競技会だ。
カロリーナさんのウクライナの血は顔平たく身体も平たい日本女の中で「目立つ」という有利に働いたはずだ。
（言っちゃえばウクライナではそこまで目立つ容姿でも人気のある容姿でもないないなんて可能性もある）
一方で日本では「濃すぎる」とか「日本的美ではないよね」とか言われて不利に働くこともあるだろう。
それら全部ひっくるめてカロリーナさんという競技者の手持ちの武器っつーだけだろ？
カロリーナさん自身も凡庸な容姿の一般女性と自分を差別化して美人業界を這いあがってきた美人戦士だ。
カロリーナさんが差別されてるとしたら容姿差別ならされてるが、それは上等の世界で生きてるんだよ。
一方でカロリーナさんは帰化人であることを問題にはされてない。少なくとも倉田はそんなこと言ってない。
これで何がどう人種差別だっつーんだ？
そういう言葉を使う時にもうちょっと慎重に考えることが出来ないんなら、
それはお前等こそが差別という問題を軽く考えてるという証拠でしかない。
cinefuk 国籍が日本でも、5歳からずっと日本で暮らして日本の義務教育を卒業しても、
「平たい顔」じゃないと日本人になれないんだなあ
こいつとかもな。
倉田は「カロリーナさんが日本人であること」は一言たりとも否定してないじゃん。
お前は一体何を読んでコメントしてるんだ？
こういう日刊スポーツ記事程度の文量すらちゃんと読まずにいい加減極まりないコメントを平気で書きつけることが出来るってとこ自体
こいつが差別問題なんて少しも真剣に考えてない証拠とみていいと思う。
正直に言いなよ。
あんたにとっては差別問題なんてネットでくっだらねー党派性石合戦するための具でしかねーんだろ？
ichi404 調べれば調べる程ミスコン自体辞めるべきって思う。辞めればこういう疑問も無くなるのだから。
2024/01/25 リンク yellow122yellow
こういう奴とかもね。
人類を皆殺しにすりゃ―差別問題なんてなくなるねーって感じか。
ねえ、こういう奴が何かを真面目に考えてると思う？
一見善人ぶったポーズをとりながら何一つ真面目に考えてない連中って言うのが沢山いる。
そういう奴等って何と評価すべきなのかな？
Fuggi
そうかもな。
そこの議論で倉田と戦うなら俺は別に関知しないし罵ったりもしない。
ここではあくまで倉田が言ってもいない
「人種差別」「日本人アイデンティティの否定」を指摘してたやつらに
差別について真面目に考えた形跡がないと思わんか？
ただ、ミスコンなんてものの選考基準は陸上競技の順位に比べりゃずっとガバガバで、
倉田だろうが誰だろうが優勝者への不服というのは言っていいし
それに対して「俺様定義」「難癖」なんてことは言えない筈だぞ。
（だってお前らミス日本の募集要項ページ見て何言ってんのかわかる？）
「いいやこれこれこうでカロリーナさんこそ日本的な美の代表者なんだよ！」
という反論なら言っていい。
「何をおっしゃる私こそ日本的な美を体現する者ですぷっぷくぷー」と言えばいいよな。
「これからグランプリ王者として日本の美を表現していったるからチェケラ！」
でいいんだよ。
どうせよくわからん基準なんだからそれこそ当人の心意気ひとつだ。
こんなこたあ俺なんかに言われなくたってミス日本という勝負に立った時点で覚悟完了してると思うけどね。
yajicco 差別の話は可哀想とかそういうことではない。オリジンで差をつけるなと言っている。「ガイジンはミス日本に相応しいとは思わないな。やっぱり日本人でなきゃ」は差別なんだよ。しかも要件に書いてすらいない。
2024/01/26
同じ能力なのにオリジンで差を付けられるのが「差別」であって、
オリジンから発した能力や形質について評価を受けるのはしかたねーことだろ。
俺はお前の反論が頭悪いからいま「バカか？」と言う評価を下してるが
お前の頭の出来だって祖先の誰かからの遺伝なのかもしれない。科学的にはそうだ。
けど俺が見てるのはここに現れたお前自身の頭脳のパフォーマンスなんだから
「それは私の祖先が問題なのか？」って食い下がるのは違うだろ。そんな話はしてねえよ。
祖先から受け継いだ容姿や知能で戦っていくのは仕方ないことだろうが。
な？論点の整理が出来ないだろ？
これだけクドクド言っても全く理解出来てないこの頭の悪さ。
こいつらはなんとなーく「なんか可哀想だと思う！」これだけ。
頭が悪く不真面目で怠け者。
善はぼんやり目指しただけで達成出来ると思ってることなんだよな。
それなりの精進と能力がなければ善になんてたどり着けないってことがわかってない。
善人っぽいポーズだけキメたらあとはちゃんと考えなくても怠けてもいいと思ってる。
善を舐めてる。
shinonomen
可哀想かどうかと差別かどうかは関係ない。例えばイーロン・マスク氏は全然可哀想ではないが、来日したマスク氏に「外国人の入店はお断りだ」と言ったら差別だろう。
あのさあ、
なんで「可哀想ではない」って書き方したかはきっちり述べてあるだろ。
・「ｼﾞﾝｼｭｻﾍﾞﾂﾀﾞｰ」って言ってるけど人種差別じゃねえじゃん
・そもそもこいつらは差別という概念をきちんと定義も出来てないじゃん
・ボンヤリ頭の「なんか可哀想かも！」というボンヤリ感情を「サベツ」と発話してるだけだろ
と。
その上で
uchya_x 可哀想って何？
とかいうふざけた事を言うなよって話だろ。
2024/01/26
それはなんらふざけてねーし不当でもねーよ。
要するに「差別」だけでなく「美」というものも全くわかってないよね、ボンヤリ頭くんたちはさ。
美ってのは差別だ。
何か理想が設定され、そこに近付いていく。
食事制限で脂肪を削ぐぐらいなら上等で、多くは人間まるごと削いでいく。
俺もお前も生まれ落ちた時点でワガノワに入れないことが決まってる。
これが美だ。
「頭の大きさ、手足の長さ、比率的に言ってあなたはバレエの美を満たしてません」て追い返される。
これはふざけた話か？そうかもな。
だが美とはそうしたものだ。
これが気に食わねえって人がいたら、
君が反対すべきはミスコンやバレエ団なんてチンケな物ではなく「美」そのものだ。
美に踊る己の心を厳しく観察し滅尽する修行の日々が始まるということだ。
でもそんな覚悟はねえんだろ？
日々あらゆる美を楽しんで執着しておきながら、ミスコン見たら「え？これ差別じゃない？」などと寝言を垂れる、その中途半端なモラルをどうにかしないか？
何よりこの場合はカロリーナさん自身がある種の基準の美と言う差別のレースに乗ってんだ。容姿差別は上等、人から与えられる基準も上等、だってそういう競技会だからよ。
差別だって言うなら今「あんたの美貌は日本の美じゃない」って言われてるカロリーナさんだけでなく、「あんたの美貌は出場水準じゃない」って言われた大勢の予選落ち者だって同じように差別されてんだぞ？
お前等が好きなアイドルも俳優もキャラも何もかも、ある種の基準を勝ち抜いた差別レースの勝者だぞ？ちいかわやポケモンですら可愛いキャラレースの勝者だ。
……ってなことを少しでも考えてから
お前らにそんな言葉使えるほどの知能はねえだろ。
という話をしていました。
katsyoshi 可哀想だから差別しちゃいけないんだっけ？（頭だけ読んでみたら差別肯定する無駄な文章だった
2024/01/26
これくらいの文を読む能力も理解する知能もねえクセに無理すんな
(フィールズ賞とったような)それなりの数学者が30代前半にたとえば生物学や史学に興味持ってそっちに移ったら、そっちでも現大家に肩を並べる成果を出せると思いますか？
数学者は根本的な意味で頭がいいはずですが、だからといって興味持てばどんな分野でも大成できるとは限らない(むしろ別に可能性は高くない)ですか？
つまりほかの学問では数学で要求されるようなものとは別の頭の良さが要求されるんでしょうか？でも数学で要求される論理的思考力や、概念を理解する力というのは本当に「頭の良さ」の根本的なものだと思うので、それ以外の「ほかの学問で要求されるような」頭の良さの指標って何があるんだろうとは思うんです。
たとえばビジネスの世界なら、意思決定の的確さや速さが、論理的思考力と関連もありこそすれ別質な部分も大きい、頭の良さの一つとして確かに価値を持ってるのでしょうけど。
数学は研究するのに必要な前提知識もほかの学問と比べて大量な点で、文系が自負してそうな記憶力にしても同じ学者の間では数学者が高めな傾向あると思います。
なんか脅迫観念的すぎない？普通の人は別に大谷翔平のニュース聞いても劣等感に打ちひしがれたりしないでしょ。数学者が何かの証明に成功したとしても劣等感に打ちひしがれたりはしないよ。
ビジネスに使える意思決定能力がないから採用はしないってだけで、論理や概念の理解力に対する劣等感はそのビジネスの人間たちも数学者に対して持ってるんじゃないの？違うならむしろ安心できるんだけど。
俺は数学者とは程遠い世界で働いてるから劣等感持ってるし、数学者として大成してりゃみんなからは少なくともどの分野の学者よりも頭いいって思われるのかなって思ってるから。
数学者は、そんなに頭脳明晰とは思われていないよ。もしそうであればビジネス界から強い引きがあるはずでしょ？
その会議の取り回しの能力は研究者の立場だとしてどの場面で必要になるの？専門的な勉強は基本独学だからそんな能力はいらない。研究も頭がいい人間のワンマンプレーでするならいらない。
じゃあ学会ぐらいか？でもそれだって査読が通った時点で正しいのであり学会でまで無理にわからせる必要なく質疑応答にも「わからないのが悪い」で一蹴しても自由だろ。
新たな事実の証明という成果さえ出してくれればコミュ力は不要でないのと高卒は思う
ついでにいうなら数学以外の学問における新事実の発見は(特に生物や化学のような薬剤の配合ありきの場で顕著だろうが)運に左右さてる部分も大きいという。
でもだから頭がよくても有利にならないって言いたいならその理屈は成り立たないよね。「運なる」ものの個々の学者に与えられてる期待値は数学者になるれるようなひとだろうがそれ以外だろうが変わらないはずだから。
それなら運以外の、頭がいいことに由来するひらめきが起こる確率は頭がいいほど高いのだからやっぱ数学者が有利なんではねーの。
どうだろう？数学の人たちは純粋数学とか言って「応用」数学を馬鹿にする風潮が以前は強かった。実世界との関わりは数学の人たちは苦手な人が多い印象。昔の人は、東大寺の鐘が研究の邪魔になると怒鳴りこんだ、とか第2次大戦が始まって終わったのを知らなかった、とかそういう、いかに自分が数学だけにコミットしているか、みたいな話が自慢として語られたりしていた。会議とかでも極論原則論をひたすら主張して結論が出せない数学者が多い印象がある。一方で、たとえば地球物理とかの人たちは気が長く、自分たちの都合ではどうにもならない限界というものが良くわかっていて、会議の取り回しなども上手い。
数学(あとせいぜい理論物理)の研究をするような人たちがほかの全学問の研究に従事すればいいと思いませんか？
数学は数論の本とかだと入門書でも修士レベルの知識がないと読めないのがあるそうです。他の学問でこんなことはそうそうないでしょう。文系なんかは別に入門書じゃなく、専門家が同じ専門家に向けて出したガチの専門書の体で出された本だとしても、下手したら高校生でも読めると言ったら言い過ぎかもしれませんが、賢い大学生なら普通に読めるでしょう。
数学とそれ以外じゃ学問としてのレベルが違いすぎるのだと思います。
つまり、今現在他の学問をやってる研究者は数学をやるのは理解力が足りず無理でしょうが、逆に数学やってるような人がほかの学問をする分には、今その学問をやってるような人たちよりもまず頭がいいので、今後もその人たちに研究を続けさせた場合に得られるものよりもより多くて高度な成果が得られるのではないかと思いました。
自由主義なのでそんなことは無理ですけど、もし成果だけで考えたなら、今数学以外の研究してる人には全員学術の場からは退いてもらって、望月新一みたいな優秀な数学者のクローンを作ってその人たちにあらゆる学問の研究をさせたほうがいいと思ったのですが、みなさんはどう考えますか？
トップレベルの数学者になるには一日だいたいどのぐらいの時間をインプットに割くのが理想だと思いますか？
数学というのは研究の道具として使う知識や理論にしても、学びすぎても学びすぎることがないぐらい、時間が許すならいくらでも学ぶべきことはあると思います。
でもそれだと、先行研究を理解するだけで自分では何も発見を生み出さない人生になってしまった…なんてことになりかねませんよね。
だけどインプットせずにアウトプットなんて当然できない…できても車輪の再発明になるのがオチでしょう。
ようはこのあたり平均的なの学問以上に特に時間配分に関するバランス感覚が大切になってくると思うのです。
一体アウトプットとインプットの配分についてどれぐらいが価値のある成果を残すという目的にとって最も効率的で理想だと思いますか？
補足
最低でも修士課程に入って以降、あるいはポスドクの話です。受験に受かるにはみたいなどれぐらい勉強がいるかみたいな話ではないので勘違いしないでいただけると幸いです。
しかし、こういった商品は運びやすいように組み立て式になっており、しかもDIYしている気分になれるので一石二鳥なのです。
本棚を組み立て終わると、デスクの上に積んであった本の山をすっぽりと収めることができました。
というのも、私は数学愛好家なので、リファレンスとして数学書を大人買いしたいのです。
仕事柄、特に線形代数や離散最適化のような数学は使いますが、私が興味のあるのはそういった実用志向のアルゴリズムではありません。
むしろ取り組みたいのは、フェルマーの最終定理やラングランズ予想のような、一見すると実用からは遠いけれど、数学の本質を突くような深淵です。
数学には二種類の文化があり、アルゴリズム的な問題解決者と、深淵な理論を目指す者がいます。
プログラマーであればほぼ例外なく前者の立場になりますが、後者というのは「理論Aの理解のためにはBの理解が必要で、その理解にはCの理解が必要で、その理解のためには...」という階層が非常に深いものを表します。
私はいまだに、コホモロジーとはなんであるのかについてよくわからないのです。
コホモロジーをGPTに対し「小学生にもわかるように説明せよ」とやったものが以下です。
コホモロジーは、数学の中のとても難しい概念ですが、小学生にわかりやすく説明するために、一緒に想像の旅に出かけてみましょう。
まず、コホモロジーは、ある種の「形」や「パターン」を見つけるための道具と考えてみてください。例えば、あなたが宝探しをしていて、地図があるとします。この地図は、宝物がどこにあるかを示しています。しかし、この地図はただの紙切れで、宝物自体は地図にはありません。でも、地図を使って、宝物のありかを見つけることができますよね。
コホモロジーも同じようなものです。コホモロジーは、数学的な「地図」のようなもので、それを使って、数学の世界に隠された「宝物」を見つけることができます。この「宝物」は、数学の中の特定のパターンや形、構造などを指します。
しかし、コホモロジーはとても複雑で、大人でも理解するのが難しいです。だから、小学生のあなたがすぐに理解できなくても大丈夫です。大切なのは、コホモロジーのような難しい概念に挑戦する勇気と、学び続ける意欲を持つことです。これからも、色々なことに興味を持ち、学び続けてくださいね！。
これじゃあ、なにも理解していないのと同じでしょう。結局、深淵を理解するためには地道な努力が必要です。
理論構築者の観点からみると、数学は登山に似ていると思います。
コホモロジーにたどり着くためには、集合論、群論、位相幾何学、ホモロジー理論と順を追っていかなければならないのです。
これまでの私は、理論構築者ではなく、問題解決者だったので、「問題」という単位で物事を理解してきました。
アルゴリズムなので、問題を解くための前提知識はさほど必要なく、むしろ必要なのはIQです。
ところが、ラングランズプログラムや超弦理論といった深淵は、IQに加えて、山登りの体力や努力や時間が必須になります。
しかも、仮に山を登り終えたとしても、プログラマーの仕事としてなんの役にも立たないのです。
深淵に取り組むというのは、そういう廃人的な努力を必要とするので、職業的な数学者でない限り努力の誘因が失われてしまいます。
深淵な登山をして、誰にも認められることなく自己満足して、何が楽しいのでしょうか。
結局、理解した物事を外側に発信(例えば論文執筆)して社会との接点を作らなければ、本当の廃人になってしまうでしょう。
無限は様々な人たちを当惑させてきた。周囲の物理世界で観察されるものはすべて有限。
観測可能な宇宙の原子の数でさえ、想像を絶するほど大きいとはいえ、やはり有限。
数学はおそらく、無限とつながるための最も知性的で論理的な方法を与えてくれる。
数学的な無限理論は、19 世紀末にドイツの数学者カントールによってほぼ独力で作成された。
自分のアイデアを追求するために、カントールは途方もない勇気を示した。批判者たちに答えて「数学の本質はその自由にある。」と書いたのである。
数学では、選択された公理と論理規則に厳密に従わなければならない。
しかし、そのルールの中においては、本当に想像力を羽ばたかせることができる。数学には独断や偏見が入り込む余地はない。
カントールの考えは、無限大は数ではなく、むしろ集合の性質であるというものであった。
2 つの集合 A と B が与えられると、A から B への「写像(勝間さんじゃないですよ)」について考えることができる。
これは、 B の要素を A の各要素に割り当てるルールである。
カントールによって導入された重要な概念は、集合 A と B の間の1 対 1 対応である。これは、Bの各要素がAの1つの要素にのみ割り当てられるような、A から B への写像である。
Aが有限数の要素 (たとえば、n) を持ち、B が別の集合である場合、B にもn要素がある場合にのみ、AとBの間に1対1の対応関係が存在するという定義である。
ここで、無限集合の概念を導入できる。これは、Aと有限集合Bの間に1対1の対応がないような集合Aである。たとえば、自然数の集合 N={1,2, 3,…}は無限集合である。
ここまでの理論はかなり単純だ。しかしその後、カントールは驚くべき発見をした。互いに1対1対応していない無限の集合が存在するのである。
たとえば、集合Nと実数の集合Rの間には1対1の対応がないことがわかる。
カントールの対角線論証とも呼ばれる証明があるが、これはかなり美しい証明と言われている。
そこでは実数の集合と自然数の集合の間には 1 対 1 の対応関係がないということが示されている。実数の「無限大」は自然数の「無限大」よりも「大きい」と言える。
この 2 つの間に「無限」は存在するのか？ これは、数理論理学における最も深い問題の 1 つである、有名な「連続体仮説」につながる。
