  |
はてなキーワード: 数学書とは
自分で参考書を書いてみれば分かりますが、数学の検定教科書はおそろしく完成度が高いです。そのことを具体的な実感をともなって理解できれば、あなたの学力は入試レベルなど優に超えています。
数学の本の出来は、理論の構成で決まります。数学の理論の構成とは、かんたんに言えば定義や定理をどう配置するかと言うことです。どのトピックを載せるか、ある定理を述べるために事前にどのような概念を定義しておく必要があるのか、その定理を証明するために事前にどのような命題を示しておく必要があるのか。トピックの選定が的確で、理論の道筋が明快であるほど、数学書の完成度は高いです。たとえば、余弦定理は重要ですから当然載せます。余弦定理を述べるには三角比を定義する必要があります（鋭角だけではなく鈍角に対しても）。そして、証明には通常、三平方の定理と有名な等式
が必要になります（これも三平方の定理のcorollaryです）。さらに三平方の定理を示すには、ふつうは三角形の相似を使用します。この道筋をいかに最適化できるかに、著者の力量が現れます。もちろん、余弦定理を要領良く示すために他の定理に至る過程が鈍臭くなってはいけません。全体の最適化を考えなければいけないのです。
証明の最適化を図るには、定義から再考しなければいけません。同じ概念であっても、それを特徴づける性質が複数あるなら、どれを定義として採用しても良いですが、それによって効率は違って来るからです。たとえば、ベクトルの内積は
のどちらを定義としても良いですが、後者の場合は別の座標（たとえば、45°回転した座標など）で考えたときに値が同じになるのか疑問が残ります。前者は座標の取り方によらずに定義できています。
この場合はどちらを採用してもそれほど変わりはありませんが、指数関数などは定義の仕方で必要な議論の量はまるで変わってきます。多くの教科書では、自然対数の底
e = lim (1 + 1/n)n -- (☆)
を定義し、そのべき乗として指数関数exを定義します。もちろん結果だけ知っていれば、微分方程式
df/dx = f
を満たすf(x)で、f(0) = 1となる関数としても指数関数を定義することはできます。しかし、このようなfが存在することを、(☆)を使わずに示すのは高校レベルを遥かに超えます。そのようなfが一意的であることも明らかではありません。
以上のようなことを考えるだけでも相当大変ですが、これに加えて検定教科書では、直感的な理解を損ねないことも考慮しなければなりません。高校生が読んで理解できなければならないからです。理論の整合性・効率と教育的配慮の間でバランスを取るという難しいことを、数学の専門家たちが苦心して行い、作成されたのが検定教科書です。このような本は他の参考書にはありません。場当たり的に問題の解き方を解説するだけの本とは格が違います。
数学の検定教科書は極めて洗練されています。教科書の理論構成を把握し、その流れや証明手法に合理性や必然性を見出だせる水準まで理解できれば、入試などは余裕で通過できます。
数学書に書いてある日本語は全て完璧で論理的であるかような気がするが、たまには上記のようにしれっと面倒を避ける人間臭いところもあったりする。
上記の言葉は、複数回の微分や偏微分、微分形式などを説明するときに、微分する関数等が何回微分可能なのかをいちいち書き記すのが面倒だから、細かい説明を避けるために使う用語。数学書ではわりとよく出てくる。
でも私なんかは人間関係にこそ必要なだけ微分可能性（ある種の滑らかさ）を仮定して、そうであれば解析しやすい相手の心を数学のごとく計算して易々と生活したいものだと常々思っている。
例えば、相手の心が十分に滑らかであれば、ある時点で微分してテイラー展開できる。そうすれば、相手の心というあんな複雑な関数でも多項式で表せる。
まだ無限の多項式ではあるが、十分なレベルの項まで取れば後は誤差項として切り捨てられる。あんな面倒な相手の心というものが、こんな単純な式に落とせるなんて！
それが普段できないのは微分可能性が証明できないから。読者なんてまさにその典型例。微分可能性を仮定するあの言葉も、そんな叫びを隠したものなんだろうと私の心で思ったりする。
06:00：起床
06:30：散歩がてら近所のコンビニにいく。朝ごはんにスイーツ（）を買う
07:00：熱々のコーヒーを淹れる。もちろんブラック。スイーツを食らう。
12:00：休憩。買い物に行く。近所に大型書店があるので立ち読みしにいく。帰りにお昼ごはんを買って帰る
14:00：帰宅。買ってきた飯を食らう。
14:30：はて部みたりつべみたりTwitterみたりだらだら過ごす
17:00：だらだらしながら研究が気になってくる。論文読み再開。
21:00：アベプラ観始める。イケアヤが好きなのでイケアヤが出てなかったら観るのやめる。
24:00：就寝
不思議でならない。
たとえば、存命最強の数学者の一人に確実に名前が挙がるだろうピエール・ドリーニュは、ベルギーとかいう公用語すら統一されとらんド後進国出身だが、18歳で既に大学数学をマスターし、26歳でフランスIHESの教授に就いた大天才だ。
こういう少なくとも日本よりは教育水準の低いだろう国で、数学みたいな学問を自主的に勉強したがって、しかも才能を開花させる人材が現れるのだから、日本にはもっといてもよさそうなものだ。
アメリカの大学に飛び級で入学するような奴は勿論、物心ついた頃には自分の専門分野が大好きになってて、自主的に大学レベルのことまで勉強している。
一方、日本に目を向けると、そういう人はほとんどいない。たとえば、東大の河東泰之先生によれば、麻布みたいな超有名進学校でも、中学生で大学専門レベルの数学書を読んでると変人扱いされるらしい。
この違いはどこから来るのか？
Amazonのレビューなどに書くと過去のレビューから身バレする可能性があるのと、わざわざ別アカウントを作ってまで批評するほどのものではないと思ったので、こちらに書きます。
初めに断っておきますが、本稿は別に加藤文元先生の人格や業績などを否定しているわけではありません。また、IUT理論やその研究者に対する批判でもありません。「IUT理論が間違っている」とか「望月論文の査読体制に問題がある」などと言う話と本稿は全く無関係です。単純にこの本に対する感想でしかありません。
----
加藤文元先生の「宇宙と宇宙をつなぐ数学 - IUT理論の衝撃」を読みました。結論から言って、読む価値の無い本でした。その理由は、
「ほとんど内容がない」
本書は、RIMS（京都大学数理解析研究所）の望月新一教授が発表した数学の理論である、IUT理論（宇宙際タイヒミューラー理論）の一般向けの解説書です。
1～3章では、数学の研究活動一般の説明や、著者と望月教授の交流の話をし、それを踏まえて、IUT理論が画期的であること、またそれ故に多くの数学者には容易には受け入れられないことなどを説明しています。
4～7章では、IUT理論の基本理念（だと著者が考えているアイデア）を説明しています。技術的な詳細には立ち入らず、アイデアを象徴する用語やフレーズを多用し、それに対する概念的な説明や喩えを与えています。
まず、数学科の学部3年生以上の予備知識がある人は、8章だけ読めばいいです。1～7章を読んで得られるものはありません。これはつまり「本書の大部分は、IUT理論と本質的に関係ない」ということです。これについては後述します。
1～3章は、論文が受理されるまでの流れなどの一般向けに興味深そうな内容もありましたが、本質的には「言い訳」をしているだけです。
などの言い訳が繰り返し述べられているだけであり、前述の論文発表の流れなどもその補足のために書かれているに過ぎません。こういうことは、数学者コミュニティの中でIUT理論に懐疑的な人達に説明すればいい話であって、一般人に長々と説明するような内容ではないと思います。もっとも、著者が一般大衆も含めほとんどの人がIUT理論に懐疑的であると認識して本書を書いたのなら話は別ですが。
4～7章は、「足し算と掛け算の『正則構造』を分離する」とか「複数の『舞台』の間で対称性通信を行う」などの抽象的なフレーズが繰り返し出てくるだけで、それ自体の内容は実質的に説明されていません。
のように、そこに出てくる「用語」にごく初等的な喩えを与えているだけであり、それが理論の中で具体的にどう用いられるのかは全く分かりません（これに関して何が問題なのかは後述します）。そもそも、本書を手に取るような人、特に1～3章の背景に共感できるような人は、ここに書いてあるようなことは既に理解しているのではないでしょうか。特に6～7章などは、多くのページを費やしているわりに、数学書に換算して1～2ページ程度の内容しか無く（誇張ではなく）、極めて退屈でした。
8章はIUT理論の解説ですが、前章までに述べたことを形式的につなぎ合わせただけで、実質的な内容はありません。つまり、既に述べたことを並べて再掲して「こういう順番で議論が進みます」と言っているだけであり、ほとんど新しい情報は出て来ません。この章で新しく出てくる、あるいはより詳しく解説される部分にしても、
複数の数学の舞台で対称性通信をすることで、「N logΘ ≦ log(q) + c」という不等式が示されます。Θやqの意味は分からなくてもいいです。
今まで述べたことは局所的な話です。局所的な結果を束ねて大域的な結果にする必要があります。しかし、これ以上は技術的になるので説明できません。
のような調子で話が進みます。いくら専門書ではないとはいえ、これが許されるなら何書いてもいいってことにならないでしょうか。力学の解説書で「F = maという式が成り立ちます。Fやmなどの意味は分からなくていいです」と言っているようなものだと思います。
本書の最大の問題点は、「本書の大部分がIUT理論と本質的に関係ない」ということです（少なくとも、私にはそうとしか思えません）。もちろん、どちらも「数学である」という程度の意味では関係がありますが、それだけなのです。これがどういうことか、少し説明します。
たとえば、日本には「類体論」の一般向けの解説書がたくさんあります。そして、そのほとんどの本には、たとえば
奇素数pに対して、√pは三角関数の特殊値の和で表される。（たとえば、√5 = cos(2π/5) - cos(4π/5) - cos(6π/5) + cos(8π/5)、√7 = sin(2π/7) + sin(4π/7) - sin(6π/7) + sin(8π/7) - sin(10π/7) - sin(12π/7)）
4で割って1あまる素数pは、p = x^2 + y^2の形に表される。（たとえば、5 = 1^2 + 2^2、13 = 2^2 + 3^2）
のような例が載っていると思います。なぜこういう例を載せるかと言えば、それが類体論の典型的で重要な例だからです。もちろん、これらはごく特殊な例に過ぎず、類体論の一般論を説明し尽くしているわけではありません。また、類体論の一般的な定理の証明に伴う困難は、これらの例とはほとんど関係ありません。そういう意味では、これらの例は類体論の理論的な本質を示しているわけではありません。しかし、これらの例を通じて「類体論が論ずる典型的な現象」は説明できるわけです。
もう一つ、より初等的な例を出しましょう。理系なら誰でも知っている微分積分です。何回でも微分可能な実関数fをとります。そして、fが仮に以下のような無限級数に展開できたとします。
f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... (a_n ∈ ℝ)
このとき、両辺を微分して比較すれば、各係数a_nは決まります。「a_n = (d^n f/dx^n (0))/n!」です。右辺の級数を項別に微分したり積分したりしていい場合、これはかなり豊かな理論を生みます。たとえば、等比級数の和の公式から
1/(1 + x^2) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + ... (|x| ＜ 1)
arctan(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + ...
π/4 = 1 -1/3 + 1/5 - 1/7 + ...
のような非自明な等式を得ることができます。これは実際に正しい式です。また、たとえば
dy/dx - Ay = B (A, B ∈ ℝ、A≠0)
のような微分方程式も「y(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ...」のように展開できて項別に微分していいとすれば、
よって、
a_0 = -B/A + C (Cは任意の定数)とおけば、
- a_n = C A^n/n! (n ≧ 1)
「e^x = Σx^n/n!」なので、これを満たすのは「y = -B/A + Ce^(Ax)」と分かります。
上の計算を正当化する過程で最も困難な箇所は、このような級数が収束するかどうか、または項別に微分や積分ができるかどうかを論ずるところです。当然、これを数学科向けに説明するならば、そこが最も本質的な箇所になります。しかし、そのような厳密な議論とは独立に「微分積分が論ずる典型的な現象」を説明することはできるわけです。
一般向けの数学の本に期待されることは、この「典型的な現象」を示すことだと思います。ところが、本書では「IUT理論が論ずる典型的な現象」が数学的に意味のある形では全く示されていません。その代わり、「足し算と掛け算を分離する」とか「宇宙間の対称性通信を行う」などの抽象的なフレーズと、それに対するたとえ話が羅列されているだけです。本書にも群論などの解説は出て来ますが、これは単に上のフレーズに出てくる単語の注釈でしかなく、「実際にIUT理論の中でこういう例を考える」という解説ではありません。これは、上の類体論の例で言えば、二次体も円分体も登場せず、「剰余とは、たとえば13 = 4 * 3 + 1の1のことです」とか「素因数分解ができるとは、たとえば60 = 2^2 * 3 * 5のように書けるということです」のような本質的に関係のない解説しかないようなものです。
もちろん、「本書はそういう方針で書く」ということは本文中で繰り返し述べられていますから、そこを批判するのはお門違いなのかも知れません。しかし、それを考慮しても本書はあまりにも内容が薄いです。上に述べたように、誇張でも何でもなく、数学的に意味のある内容は数学書に換算して数ページ程度しか書かれていません。一般向けの数学の本でも、たとえば高木貞治の「近世数学史談」などは平易な言葉で書かれつつも非常に内容が豊富です。そういう内容を期待しているなら、本書を読む意味はありません。
繰り返し述べるように本書には数学的に意味のある内容はほとんどありません。だから、極端なことを言えば「1 + 1 = 2」や「1 + 2 = 3」のような自明な式を「宇宙と宇宙をつなぐ」「正則構造を変形する」みたいに言い換えたとしても、本書と形式的に同じものが書けてしまうでしょう。いやもっと言えば、そのような言い換えの裏にあるものが数学的に正しい命題・意味のある命題である必要すらありません。本書は少なくとも著者以外にはそういうものと区別が付きません。
ここまでネガティブなことを書いておいて、何食わぬ顔でTwitterで加藤先生のツイートを拝見したり、東工大や京大に出向いたりするのは、人としての信義に反する気がするので、前向きなことも書いておきます。
まず、私は加藤先生のファンなので、本書の続編が出たら買って読むと思います。まあ、ご本人はこんな記事は読んでいないでしょうが、私の考えが人づてに伝わることはあるかも知れませんから、「続編が出るならこんなことを書いてほしい」ということを書きます。
まず、上にも書いたような「IUT理論が論ずる典型的な現象」を数学的に意味のある形で書いていただきたいです。類体論で言う、二次体や円分体における素イデアル分解などに相当するものです。
そして、IUT理論と既存の数学との繋がりを明確にしていただきたいです。これは論理的な側面と直感的な側面の両方を意味します。
論理的な側面は単純です。つまり、IUT理論に用いられる既存の重要な定理、およびIUT理論から導かれる重要な定理を、正式なステートメントで証明抜きで紹介していただきたいです。これはたとえば、Weil予想からRamanujan予想が従うとか、谷山-志村予想からFermatの最終定理が従うとか、そういう類のものです。
直感的な側面は、既存の数学からのアナロジーの部分をより専門的に解説していただきたいです。たとえば、楕円曲線のTate加群が1次のホモロジー群のl進類似であるとか、Galois理論が位相空間における被覆空間の理論の類似になっているとか、そういう類のものです。
以上です。
加藤文元先生、望月新一先生、およびIUT理論の研究・普及に努めていらっしゃるすべての方々の益々のご健勝とご活躍を心からお祈り申し上げます。
フロリダの海辺の街で、ボートの修理をして生計を立てている独り身のフランク。彼は、天才数学者だったが志半ばで自殺してしまった姉の一人娘、メアリーを養っている。彼女は、先天的な数学の天才児“ギフテッド”であり、周りは特別な教育を受けることを勧めるが、フランクは「メアリーを普通に育てる」という姉との約束を守っていた。しかし、天才児にはそれ相応の教育を望むフランクの母イブリンが現れ、フランクとメアリーの仲を裂く親権問題にまで発展していく――。
映画『ギフテッド』オフィシャルサイト｜ 20世紀フォックス ホーム エンターテイメント
ストーリーはあちこちで語られまくっているからここではもう書かない。
本作のもうひとつの魅力はキャラクターが魅力的なことだと思う。
ただし直接言葉で描写されるのではなく、会話の断片やちらりと映る写真からキャラクターの背景が浮かび上がってくるスタイルなので人によっては伝わりにくいかもしれない。語りたいので勝手に語る。以下全部ネタバレ。
彼の最初のイメージは、バーに入り浸り汚い家でいい加減な生活をしている駄目おやじだ。
軽口を言い合う娘との関係がなんともいえず良い。
主人公は娘を一人の人間として対等に扱い誠実に会話をする。その様子が心地よく暖かい。２人は強い信頼と愛情で結ばれている。
母親から娘を託された時点では彼はオックスフォードの准教授であったらしい。
仕事と育児が両立できずに辞職し、現在ではボートの修理工として不安定な生活を送る。
浮かび上がってくるのは、育児のためにキャリアも収入も捨てその苦労を娘にわからないように振る舞う気丈な男親の姿だ。
人生のほとんどを育児に捧げたその結果、家が汚いことと収入の不安定さを理由に娘を取り上げられてしまうのはあまりにも理不尽だ。つらい。
「五分でいいから自由な時間が欲しい」とうっかりこぼし、娘が激しく傷ついてしまうシーンがある。
彼は行政にも保育園にも頼らずたった１人で子供を育てて来た。娘が天才であることがバレたら取り上げられてしまうのではないか、という危惧からだ。彼の危惧は現実となった。小学校で天才であることがバレ、またトラブルを起こしたことからほぼ放校処分。英才教育校への転入するように言われる。英才教育を望むおばあちゃんにより養育権を巡る裁判が起こされるという事態になる。
ところで彼の言動は子供を育てる親の「あるある」が詰まっていてとてもよい。
『育て始めて最初の２週間で自分の手には負えないことがわかっていた。明日こそ児童相談所に行こうと毎日思った。でもその度にあの子は何かをしでかすんだ。思いもよらないことをね。』泣いたり笑ったり。あの子はいろんなことをするんだ。それでいつのまにか手放せなくなっていたと彼は続ける。
そうだろうなあ。わかる。わかるよ。
どこからどう見ても英才教育クソババアなんだけれども、物語が進むにつれ彼女の背景も明らかになる。
どうやら彼女自身も相当に優秀な数学の研究者であったらしい。はっきりとは描写されていないがミレニアム問題のひとつ、ナビエ・ストークス方程式の解について研究していたようだ。
結婚出産で研究の道を諦めたが彼女の魂は数学に囚われたままだ。出来た子供（母親）が数学の天才で自身の夢を託してしまったようだ。
英才教育の建前のもと子供の人生に介入しまくるクソ親で、子供がボーイフレンドと遊びに行くと誘拐だと言って通報する、裁判を起こすと別れるまで脅し続けるなどやっていることは無茶苦茶だ。
どうも彼女自身も男運がないようで「男はみんな駄目男」と思っているかもしれない。この辺りも子供のプライベートに介入しまくる理由のひとつなのだろう。
物語を通して２つの関係が描かれる。主人公と娘、そしておばあちゃんと母親の関係だ。
物語ラストシーン、母親に対する自身のこれまでの行いを後悔し泣く。子供である母親と向き合い、彼女の死に対して始めて涙を流す。
いつのまにか母親に感情移入して見ていたので救われる思いだった。ボロボロ泣いてしまった。
一切出てこないのにすごい存在感。
天才として生まれ英才教育を受け、娘を残して自殺してしまった母親。
『親に愛されたかった』『親は私を愛さなかった。数学の才能にしか興味はなかった』
母親の人生はおばあちゃんに完全にコントロールされてしまっている。
そのせいで母親は生活能力がなく男を見る目もない。それを見ておばあちゃんは「自分がなんとかしなければ」とますます母親を支配する。
妊娠して男に捨てられ親（おばあちゃん）に相談するも突き放され、弟である主人公に娘を託して自殺。
自分のようにしないで、普通に育ててと主人公に娘を託すが・・・
ませていて可愛くて、繊細で、言動が突拍子もなくて目が離せない。本当に魅力的。
見ていない人はぜひトレーラーだけでも見て欲しい。
ちょっとした子供の仕草が本当にリアル。すきあらば体をよじ登って来るとか、上に乗っかって寝始めるとか
あるあるある。
映画を観る前は「アイアムサム」みたいな内容かな？と思っていたのだけれども娘の立ち位置がこの映画をもう少し複雑にしている。
母親は普通に育てるようにと遺言を残したけれども娘自身は数学を望んでいる。
普通の小学校に通うことを拒否しおばあちゃんの持ってきたPCや数学書に純粋に喜ぶ。
母親はおばあちゃんの価値観を押し付けられ苦しんだ。母親は「自分と同じにしないように普通に育てて」というが
皮肉なことにそれが母親から娘への価値観の押し付けにも見て取れる。当然だけれども母親と娘も別の人間なわけで。
もちろん娘は主人公との暮らしを望んでいるし、明らかにおばあちゃんはダメすぎるのけれども。
この映画の感想に「天才には適した教育をすべき」という主張の人がかなりいることにちょっと驚いたのだけれども
おそらく彼らは娘に強く感情移入しながら見たひとたちなのだろう。
映画は素晴らしかった。たまに映るホワイトボードやノートの数式もいいかんじ。娘の成長具合がなんとなくわかる。この手の映画は数式が不自然にわざとらしくなりがちだけどそんなことない。よい。けれども１箇所だけちょっといいたい。
天才を試す問題にガウス積分はないでしょーー。しかも符号書き間違えるか？？ぐちゃぐちゃ長い式書いていたけれどもいったい何を書いたんだ。式が長い方が絵的に映えるのかもしれないけれどー。筋の悪い人に見えちゃうよー。極座標にしようよ。
いや小学1年生がガウス積分はすごいけれども、彼女は少なくとも微分方程式までは勉強しているわけでとうに知っているでしょう。
