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はてなキーワード: 位相とは
Chern-Simons理論は、特に3次元のトポロジカル量子場理論（TQFT）における中心的な役割を果たす理論でござって、その定式化は主に接続（connection）と曲率（curvature）という微分幾何学の概念に基づいておるのでござる。この理論は、特にゲージ理論とトポロジーの交差点で深い意味を持ち、リー群上の接続のトポロジー的性質を探るものでござる。以下では、厳密な数学的枠組みのもとで、Chern-Simons理論を詳細に説明いたすでござる。
Chern-Simons理論は、主束上で定義される接続から構築されるのでござる。ここで、P(E) を G 群の主束とし、G をリー群、𝔤 をそのリー代数といたすでござる。主束は次のように定義されるのでござる：
P(E) → M,
ここで M は3次元の多様体で、E はファイバー空間を表すのでござる。接続 A ∈ Ω¹(M, 𝔤) はこの主束上の1-形式でござって、各点でリー代数 𝔤 の値を取るのでござる。
接続 A は、接続を持つファイバー上の接続のトランスポートを表現し、リー群の基準を用いて測地線のようにデータを運ぶのでござる。接続 A によって定義される曲率は、外微分 dA と二次の項 A ∧ A を含む、次の形で表現されるのでござる：
F_A = dA + A ∧ A.
ここで、F_A は接続 A の曲率2-形式でござって、ゲージ群 G の接続が示す物理的な局所的な場を表すのでござる。
Chern-Simons形式は、主に接続の曲率を用いて定義されるのでござる。3次元多様体 M 上でのChern-Simons形式 CS(A) は、接続 A の曲率 F_A に基づいて次のように表されるのでござる：
CS(A) = ∫_M Tr(A ∧ dA + ⅔ A ∧ A ∧ A),
ここで、Tr はリー代数 𝔤 のトレースを取る演算子でござって、各項は外積（wedge product）によって形成されるのでござる。具体的には、A ∧ dA は接続 A とその外微分 dA の外積を、A ∧ A ∧ A は接続の3重積を意味するのでござる。
Chern-Simons形式は、ゲージ変換に対して不変であることが重要な特徴でござる。ゲージ変換は、接続 A に対して次のように作用するのでござる：
A → g⁻¹Ag + g⁻¹dg,
ここで g ∈ G はゲージ群の元でござる。この変換によって、Chern-Simons形式がどのように振る舞うかを調べると、次のように変換することがわかるのでござる：
CS(A) → CS(A) + ∫_M Tr(g⁻¹dg ∧ g⁻¹dg ∧ g⁻¹dg).
これは、Chern-Simons形式がゲージ変換の下でトポロジカル不変量として振る舞うことを示しておるのでござる。すなわち、Chern-Simons形式の値は、ゲージ変換による局所的な変更には依存せず、主に多様体のトポロジーに依存することが分かるのでござる。
Chern-Simons理論の量子化は、パスインテグラルを用いた量子場理論の枠組みで行われるのでござる。具体的には、Chern-Simons作用を用いた量子化は次のように記述されるのでござる：
Z_CS(M) = ∫ 𝒟A exp(i ∫_M Tr(A ∧ dA + ⅔ A ∧ A ∧ A)).
この積分は、接続 A に関するパスインテグラルでござって、Chern-Simons理論における量子場理論の構築に用いられるのでござる。ここで 𝒟A は接続 A の変分に関する積分を示すのでござる。
Chern-Simons形式は、特に3次元多様体に対するトポロジカル不変量としての性質が重要でござる。3次元多様体 M に対して、Chern-Simons不変量は以下のように定義され、計算されるのでござる：
Z_CS(M) = ∫ 𝒟A exp(i ∫_M Tr(A ∧ dA + ⅔ A ∧ A ∧ A)).
この不変量は、3次元の量子ホール効果やトポロジカル絶縁体などの物理的現象を記述するのに重要でござる。具体的には、Chern-Simons形式によって、3次元多様体のトポロジーを示す不変量が得られ、量子化されたゲージ理論における位相的な特性を理解するために利用されるのでござる。
位相的弦理論は、通常の弦理論を単純化したバージョンで、弦理論の世界面を位相的にツイストすることで得られる。
この理論は、弦理論の複雑さを減らしつつ、その本質的な構造を保持することを目的としている。
位相的弦理論では、通常の弦理論の作用を位相的にツイストする。このツイストにより、作用素は異なるスピンを与えられ、結果として局所的な自由度を持たない理論が得られる。
位相的弦理論の作用は、通常の弦理論の Polyakov 作用を変形したものとして表現できる。Polyakov 作用は以下のように与えられる：
Sₚ[X, g] = -1/(4πα') ∫ d²σ √(-g) gᵅᵝ ∂ᵅXᵘ ∂ᵝXᵛ ηᵘᵛ
ここで、Xᵘ は標的空間座標、gᵅᵝ は世界面の計量、α' はスロープパラメータである。
位相的弦理論では、この作用に対して位相的ツイストを行う。ツイストされた作用は一般的に以下の形を取る：
Sₜₒₚ = ∫Σ {Q, V}
ここで、Q は位相的対称性を生成する演算子、V は適切に選ばれた演算子、Σ は世界面を表す。
位相的弦理論には主に2つのタイプがある：A-モデルとB-モデルである。
1. A-モデル：
A-モデルは、6次元多様体 X の向きづけられたラグラジアン3次元多様体 M 上の U(N) チャーン・サイモンズ理論として現れる。
2. B-モデル：
B-モデルは、D5-ブレーンのスタックを満たす世界体積上で定義され、6次元への変形された正則チャーン・サイモンズ理論として知られている。
まず、超弦理論におけるランドスケープ空間を高次元多様体 M と仮定し、その点 v ∈ M が観測可能な物理的真空状態を定める。
各真空 v には物理的パラメータベクトル λ(v) ∈ R^n が付随し、宇宙の諸定数および構造（カラビ-ヤウ多様体の形状、膜の巻き込みパラメータ等）を特徴づける。
人間原理によって、観測者の存在が可能となる真空状態を唯一選択することを数学的に表現するため、次のような制約集合を定義する：
M_H = { v ∈ M | Φ(λ(v)) = 0 },
ここで、Φ: R^n → R は観測者の存在に必要な物理的条件を反映する制約関数である。
したがって、Φ(λ(v)) = 0 なる条件を満たす v が人間原理に適合する唯一の状態とみなされる。
ランドスケープ空間 M 内において、制約集合 M_H ⊆ M の構造が重要である。
ここで、M_H が単一の点 v_* に収束する場合、人間原理は確率的ではなく決定論的に唯一の宇宙 v_* を選択する。
この一意性は次の数理的要請によって確保される：
1. 収束の一意性：制約集合 M_H が単一の極大成分 {v_*} を含む。
2. 位相的閉性：M_H がランドスケープ空間 M において位相的に閉であること。
このような位相的構造を持つことで、観測者の存在条件はランドスケープ全体における唯一の解 v_* を定めることができ、これによって観測可能な宇宙が一意に決まる。
ランドスケープ空間 M 内で観測者存在可能な真空状態が唯一の解 v_* に収束することを示すため、制約充足問題として以下の条件を考える：
∃ ! v_* ∈ M such that Φ(λ(v_*)) = 0.
この解の一意性条件に基づき、ランドスケープ空間上で観測者の存在可能な真空が他にないことを保障する。さらに、制約充足の観点から、Φ がランドスケープ空間において単調減少的または収束的性質を持つと仮定することにより、真空状態が唯一の極小点に収束し、ランドスケープの大規模な空間が人間原理の下で自動的に一意の宇宙 v_* へと選ばれる。
このようにして、ランドスケープ空間 M は観測者存在の制約 Φ(λ(v)) = 0 によって一意の真空 v_* を選択することができる。
この解は確率論を伴わずに、人間原理が自然に一意な観測可能な宇宙 v_* のみを選択するという決定論的なモデルを提供する。
このモデルでは、ランドスケープの可能な多様性が、観測者の存在条件という数学的制約により唯一の解へと集約される構造を持つ。
最終理論とは、自然界のすべての相互作用を高エネルギー領域も含めて正確に記述する理論である。
素粒子物理学は、原子から陽子、中性子、クォーク、レプトンへと進化してきたが、その探求はいつか終わるのだろうか。
現在の研究では、ゲージ群や超対称性による統一が見られ、これらは無限に続くものではなく、打ち止めになる構造を持つと考えられている。
暫定的な答えは超弦理論であり、これが最終理論ならば一意的であることが望ましい。10次元時空における超弦理論は5種類存在し、これらは11次元時空上のM理論を通じて互いに等価である。
M理論は超重力理論と関連し、M2膜とM5膜が存在することがわかっている。
しかし、このM理論は超重力理論から得られる知見以外は謎に包まれている。
N枚のM2膜やM5膜上の場の理論はそれぞれN^{3/2}やN^3に比例する自由度を持つが、その具体的な内容は不明である。
最近、M2膜を記述する場の理論が超対称チャーン・サイモンズ理論であることが発見され、この自由エネルギーもN^{3/2}に比例し、超重力理論の予言を再現する。
高い超対称性により経路積分は行列模型に帰着し、著者らの研究ではM2膜の行列モデルが詳しく調べられた。
非摂動項の展開係数には無数の発散点があるが、それらは格子状に相殺されている。
この結果は、「弦理論は弦のみではなく様々な膜も含む」を実現していると解釈できる。
この行列模型が位相的弦理論や可積分非線形微分方程式と同様の構造を持つことが確認されており、それに基づいてM理論の全容が解明されつつある。
みんなが知ってる空間は、前や後ろ、左右、上下の3つの向きがあるよね。でも、このふしぎな空間は7つも向きがあるんだ！たくさんの道があって、どっちに進んでいいか迷っちゃうくらいだね。
7つの向きがある空間を、きれいなかたちにする「G₂（ジーツー）ホロノミー」っていう魔法みたいなものがあるんだ。このかたちを使うと、空間がピッタリそろってきれいになるんだよ。
この空間には、特別な3つのかたちや4つのかたちがあって、それを組み合わせて遊ぶみたいに空間を作ってるんだ。レゴを組み立てて、カッコいいおうちを作るみたいな感じだね。
AモデルとBモデルっていう2人の「おともだち」がいて、このふしぎな空間でのことを2人で教えてくれる。お互いに助け合って、もっと分かりやすくなるんだよ。
この空間の広さ（体積っていうんだ）を特別な計算で測るんだ。この計算をすると、空間がどれくらい大きいか分かるんだよ。
ブラックホールっていう、なんでも吸い込む宇宙の中のすごい場所があるんだ。このふしぎな空間のかたちは、ブラックホールがどうやって形をつくるかも教えてくれるんだよ。
- 6次元のAモデルとBモデル（トポロジカルストリング理論）。
- Ω = ρ + i · ŕ
- V_S(σ) = ∫_M √(384^{-1} · σ^{a₁a₂b₁b₂}σ^{a₃a₄b₃b₄}σ^{a₅a₆b₅b₆} · ε_{a₁a₂a₃a₄a₅a₆} · ε_{b₁b₂b₃b₄b₅b₆})
- ここで、ε_{a₁...a₆} は6次元のレヴィ・チヴィタテンソルです。
- V₇(Φ) = ∫_X √(det(B))
- ここで、計量 g は次のように3-フォーム Φ から導かれます：
- g_{ij} = B_{ij} · det(B)^{-1/9}
- B_{jk} = - (1/144) Φ^{ji₁i₂} Φ^{ki₃i₄} Φ^{i₅i₆i₇} ε_{i₁...i₇}
- V₇(G) = ∫_X G ∧ *G
参考
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%83%E3%83%9B%E6%9B%B2%E7%B7%9A
わりと見られる用語のフラクタルは数学用語として生まれたものだけど
フラクタルという言葉だけで「図形の部分と全体が自己相似になっているもの」を指すのを結構見掛ける
コッホ曲線とか見るとコッホ曲線を4つに分けるとそれぞれがコッホ曲線全体と相似になってるのを見れたりする
しかしフラクタルは元々はフラクタル次元が位相次元を超えるものとして定義された
雑に言えば「めっちゃ複雑な図形」と言っていい
コッホ曲線を例にあげれば形としては線と同じなのに長さ測ろうにも無限になって測れないくらい複雑だからフラクタルと言える
そう複雑であればフラクタルなんだ
限られた範囲の中で線がめちゃめちゃ長く伸びてめちゃめちゃぐねってるような図形は
「めちゃくちゃ」次第で皆フラクタルだったりする
相似とか別に考えなくてもいい訳だ
というように複雑さしか定義には入ってない筈のフラクタルなのに
フラクタルという言葉が使われると相似なものしか指さないかのように使われるのを割と見掛ける訳だ
すると相似と関係あるかのように使うのは言葉の使い方としておかしいとなりそうに見える…
しかし実はその複雑さしか仮定されてないようなフラクタルだってどれも相似という概念が関わるという予想がある
例えばコッホ曲線はフラクタル次元が1.2619...と計算されるが
同じ1.2619...というフラクタル次元を持つ図形達を集めそこに上手く構造を定義すると
全体的な構造が相似性を持つという予想がある訳だ
別に自己相似性を持たない筈のフラクタル達も大きな自己相似性を持つ構造の一部として組み込まれる訳だ
こうなると「フラクタルは相似性とは無縁なものがある。相似性を持つ物を意味する言葉としてフラクタルを使うのは誤用である」
とも言えなくなってくる。だって実際に本来のフラクタルも全部が相似性のある構造の一部になる訳だから。
今のところは予想だけどこの予想が証明されれば誤用でなくなるかもしれない。
「ある言葉の誤用として使われてた用法が誤用でなくなる」という歴史はネガティブなものも結構あるが
目標：与えられた高度な数学的概念（高次トポス理論、(∞,1)-カテゴリー、L∞-代数など）をフルに活用して、三平方の定理程度の簡単な定理を証明します。
定理：1次元トーラス上の閉曲線のホモトピー類は整数と一対一に対応する
背景：
高次トポス理論：ホモトピー論を高次元で一般化し、空間や位相的構造を抽象的に扱うための枠組み。
(∞,1)-カテゴリー：対象と射だけでなく、高次の同値（ホモトピー）を持つカテゴリー。
L∞-代数：リー代数の高次元一般化であり、物理学や微分幾何学で対称性や保存量を記述する。
証明：
トーラス
𝑇
1
T
1
は、円周
𝑆
1
S
1
[
,
1
]
[0,1] の両端を同一視して得られる。
𝑇
1
T
1
を高次トポス理論の枠組みで扱うために、位相空間のホモトピータイプとして考える。
これは、1つの0次元セルと1つの1次元セルを持つCW複体としてモデル化できる。
閉曲線のホモトピー類：
𝑇
1
T
1
上の閉曲線は、連続写像
𝛾
:
𝑆
1
→
𝑇
1
γ:S
1
→T
1
で表される。
2つの閉曲線
𝛾
1
,
𝛾
2
γ
1
,γ
2
がホモトピックであるとは、ある連続変形（ホモトピー）によって互いに移り合うことを意味する。
基本群の計算：
トーラス
𝑇
1
T
1
の基本群
𝜋
1
(
𝑇
1
)
π
1
(T
1
𝑍
Z と同型である。
これは、高次トポス理論においても同様であり、(∞,1)-カテゴリーにおける自己同型射として解釈できる。
各閉曲線
𝛾
𝑛
この対応は、ホモトピータイプ理論（HoTT）の基礎に基づいて厳密に定式化できる。
円周
𝑆
1
S
1
のループ空間のL∞-代数構造を考えると、ホモトピー類の加法的性質を代数的に記述できる。
つまり、2つの曲線の合成に対応するホモトピー類は、それらの巻数の和に対応する。
結論：
𝑇
1
T
1
上の閉曲線のホモトピー類が整数と一対一に対応することを証明した。
解説：
この証明では、与えられた高度な数学的概念を用いて、基本的なトポロジーの結果を導き出しました。具体的には、トーラス上の閉曲線の分類というシンプルな問題を、高次トポス理論とL∞-代数を使って厳密に定式化し、証明しました。
高次トポス理論は、空間のホモトピー的性質を扱うのに適しており、基本群の概念を一般化できます。
(∞,1)-カテゴリーの言葉で基本群を考えると、対象の自己同型射のホモトピー類として理解できます。
L∞-代数を使うことで、ホモトピー類の代数的構造を詳細に記述できます。
まとめ：
このように、高度な数学的枠組みを用いて、基本的な定理を新たな視点から証明することができます。これにより、既存の数学的知見を深めるだけでなく、新たな一般化や応用の可能性も見えてきます。
位相空間を開集合族ではなく近傍系で定義する方法について説明する。
集合 X に対し、各点 x ∈ X に対してその点の近傍系𝒩(x) が割り当てられているとする。このとき、以下の公理が満たされるとき、これらの 𝒩(x) によって X 上に位相構造が定義される。
1. 自己包含性：任意の N ∈ 𝒩(x) に対して、x ∈ N。
2. 包含関係の保存：任意の N ∈ 𝒩(x) と N ⊆ N′ ⊆ X に対して、N′ ∈ 𝒩(x)。
3. 有限交叉性：任意の N₁, N₂ ∈ 𝒩(x) に対して、N₁ ∩ N₂ ∈ 𝒩(x)。
4. 近傍の基準：任意の N ∈ 𝒩(x) に対して、ある N′ ∈ 𝒩(x) が存在し、N′ ⊆ N かつ任意の y ∈ N′ に対して N ∈ 𝒩(y)。
この定義では、各点 x の近傍系 𝒩(x) を直接定めることで、位相空間の構造を構築する。近傍系は点ごとの局所的な性質を反映しており、これにより開集合の概念を介さずに位相的な議論が可能となる。
1. 自己包含性は、近傍がその点を必ず含むことを要求する。これは近傍の基本的な性質である。
2. 包含関係の保存は、近傍を含むより大きな集合もまた近傍であることを示す。これは近傍系が包含関係に対して上に閉じていることを意味する。
3. 有限交叉性は、有限個の近傍の共通部分も近傍であることを保証する。これにより、近傍系はフィルターの構造を持つ。
4. 近傍の基準は、任意の近傍に対してその内部に「より小さな」近傍が存在し、その近傍内の点全てが元の近傍を共有することを要求する。これは位相空間の局所的な一貫性を保証する。
近傍系から開集合系を導出することができる。具体的には、集合 U ⊆ X を開集合と定義するには、任意の点 x ∈ U に対して U ∈ 𝒩(x) が成り立つこととする。このとき、これらの開集合全体の族は位相の公理を満たす。
逆に、開集合系から近傍系を定義することも可能である。各点 x の近傍系 𝒩(x) を、x を含む開集合全体と定義すれば、公理を満たす近傍系が得られる。
定義 1: M理論の基本構造を、完全拡張可能な (∞,∞)-圏 M として定義する。
定理 1 (Lurie-Haugseng): M の完全拡張可能性は、以下の同値関係で特徴付けられる：
M ≃ Ω∞-∞TFT(Bord∞)
ここで、TFT は位相的場の理論を、Bord∞ は∞次元ボルディズム∞-圏を表す。
命題 1: 超弦理論の各タイプは、M の (∞,∞-n)-部分圏として実現され、n は各理論の臨界次元に対応する。
定義 2: 弦の標的空間を、導来 Artin ∞-超スタック X として形式化する。
定理 2 (Toën-Vezzosi): X の変形理論は、接∞-スタック TX の導来大域切断の∞-圏 RΓ(X,TX) によって完全に記述される。
定義 3: 弦場理論の代数構造を、∞-オペラッド O の代数として定式化する。
定理 3 (Kontsevich-Soibelman): 任意の∞-オペラッド O に対して、その変形量子化が存在し、Maurer-Cartan方程式
MC(O) = {x ∈ O | dx + 1/2[x,x] = 0}
の解空間として特徴付けられる。
定義 4: n次元量子場理論を、n-カテゴリ値の局所系 F: Bordn → nCat∞ として定義する。
定理 4 (Costello-Gwilliam-Lurie): 摂動的量子場理論は、因子化∞-代数の∞-圏 FactAlg∞ の対象として完全に特徴付けられる。
定理 5 (Kontsevich-Soibelman-Toën-Vezzosi): カラビ・ヤウ∞-スタック X と Y のミラー対称性は、以下の (∞,2)-圏同値として表現される：
ShvCat(X) ≃ Fuk∞(Y)
ここで、ShvCat(X) は X 上の安定∞-圏の層の (∞,2)-圏、Fuk∞(Y) は Y の深谷 (∞,2)-圏である。
定義 5: M理論のコンパクト化を、E∞-リング スペクトラム R 上の導来スペクトラルスキーム Spec(R) として定式化する。
定理 6 (Lurie-Hopkins): 位相的弦理論は、適切に定義されたスペクトラルスキーム上の擬コヒーレント∞-層の安定∞-圏 QCoh(Spec(R)) の対象として実現される。
定義 6: M理論の C-場を、∞-群対象 B∞U(1) への∞-函手 c: M → B∞U(1) として定義する。
定理 7 (Hopkins-Singer): M理論の量子化整合性条件は、一般化されたコホモロジー理論の枠組みで以下のように表現される：
[G/2π] ∈ TMF(M)
ここで、TMF は位相的モジュラー形式のスペクトラムである。
定義 7: 量子化された時空を、スペクトラル∞-三重項 (A, H, D) として定義する。ここで A は E∞-リングスペクトラム、H は A 上の導来∞-モジュール、D は H 上の自己随伴∞-作用素である。
定理 8 (Connes-Marcolli-Ševera): 量子重力の有効作用は、適切に定義されたスペクトラル∞-作用の臨界点として特徴付けられる。
定義 8: 弦理論の真空構造を、導来∞-モチーフ∞-圏 DM∞(k) の対象として定式化する。
予想 1 (∞-Motivic Mirror Symmetry): カラビ・ヤウ∞-スタック X と Y のミラー対称性は、それらの導来∞-モチーフ M∞(X) と M∞(Y) の間の∞-圏同値として表現される。
定義 9: 完全な量子重力理論を、(∞,∞)-圏値の拡張位相的量子場理論として定式化する：
Z: Bord∞ → (∞,∞)-Cat
定理 9 (Conjectural): M理論は、適切に定義された完全拡張可能な (∞,∞)-TFT として特徴付けられ、その状態空間は量子化された時空の∞-圏を与える。
複素数体上の楕円曲線 E と、そのミラー対称である双対楕円曲線 Eᐟ を考える。このとき、E のフクヤ圏 𝓕(E) は、Eᐟ の連接層の有界導来圏 𝔇ᵇ(𝐶𝑜ℎ(Eᐟ)) と三角圏として同値である。
𝓕(E) ≃ 𝔇ᵇ(𝐶𝑜ℎ(Eᐟ))
証明：
1. 交点の特定： L₀ と L₁ が E 上で交わる点の集合を 𝑃 = L₀ ∩ L₁ とする。
2. 生成元の設定： フロアーコホモロジー群の生成元は、各交点 𝑝 ∈ 𝑃 に対応する形式的なシンプレクティック・チェーンである。
3. 次数の計算： 各交点 𝑝 の次数 𝑑𝑒𝑔(𝑝) は、マスロフ指標やラグランジアンの相対的な位置関係から決定される。
4. 微分の定義： フロアー微分 𝑑 は、擬正則ストリップの数え上げによって定義されるが、楕円曲線上では擬正則ディスクが存在しないため、微分は消える（𝑑 = 0）。
5. コホモロジー群の計算： よって、𝐻𝐹ⁱ((L₀, ∇₀), (L₁, ∇₁)) は生成元の自由加群となる。
𝐻𝑜𝑚ⁱ(𝓔, 𝓕) = 𝐸𝑥𝑡ⁱ(𝓔, 𝓕)
Φ(L, ∇) = 𝑝₂*(𝑝₁*(𝓛ₗ) ⊗ 𝓟)
ここで、𝑝₁: E × Eᐟ → E、𝑝₂: E × Eᐟ → Eᐟ は射影であり、𝓛ₗ は L に対応するラインバンドルである。
- L₀ と L₁ の交点 𝑝 ∈ 𝑃 に対し、そのフロアーコホモロジー群は生成元 [𝑝] で張られる。
- 次数 𝑑𝑒𝑔([𝑝]) は、ラグランジアンの相対的な位相データとモノドロミーから決定される。
2. Ext 群の計算：
- Φ(L₀, ∇₀) = 𝓛₀、Φ(L₁, ∇₁) = 𝓛₁ とすると、Ext 群は
𝐸𝑥𝑡ⁱ(𝓛₀, 𝓛₁) ≅
{ ℂ, 𝑖 = 0, 1
0, 𝑖 ≠ 0, 1 }
3. 対応の確立： フロアーコホモロジー群 𝐻𝐹ⁱ((L₀, ∇₀), (L₁, ∇₁)) と Ext 群 𝐸𝑥𝑡ⁱ(𝓛₀, 𝓛₁) は次数ごとに一致する。
以下は、M理論と超弦理論の幾何学を抽象化した数学的枠組みでのモデル化について述べる。
まず、物理的対象である弦や膜を高次の抽象的構造としてモデル化するために、∞-圏論を用いる。ここでは、物理的プロセスを高次の射や2-射などで表現する。
∞-圏 𝒞 は、以下を持つ：
これらの射は、合成や恒等射、そして高次の相互作用を満たす。
次に、デリーブド代数幾何学を用いて、空間や場の理論をモデル化する。ここでは、デリーブドスタックを使用する。
デリーブドスタック 𝒳 は、デリーブド環付き空間の圏 𝐝𝐀𝐟𝐟 上の関手として定義される：
𝒳 : 𝐝𝐀𝐟𝐟ᵒᵖ → 𝐒
ここで、𝐒 は∞-グルーポイドの∞-圏（例えば、単体集合のホモトピー圏）である。
物理的なフィールドやパーティクルのモジュライ空間は、これらのデリーブドスタックとして表現され、コホモロジーやデリーブドファンクターを通じてその特性を捉える。
非可換幾何学では、空間を非可換代数 𝒜 としてモデル化する。ここで、スペクトラルトリプル (𝒜, ℋ, D) は以下から構成される：
作用素 D のスペクトルは、物理的なエネルギーレベルや粒子状態に対応する。幾何学的な距離や曲率は、𝒜 と D を用いて以下のように定義される：
∞-トポス論は、∞-圏論とホモトピー論を統合する枠組みである。∞-トポス ℰ では、物理的な対象やフィールドは内部のオブジェクトとして扱われる。
フィールド φ のグローバルセクション（物理的な状態空間）は、次のように表される：
Γ(φ) = Homℰ(1, φ)
ここで、1 は終対象である。物理的な相互作用は、これらのオブジェクト間の射としてモデル化される。
ゲージ対称性やその高次構造を表現するために、L∞-代数を用いる。L∞-代数 (L, {lₖ}) は次元付きベクトル空間 L = ⊕ₙ Lₙ と多重線形写像の族 lₖ からなる：
lₖ : L⊗ᵏ → L, deg(lₖ) = 2 - k
∑ᵢ₊ⱼ₌ₙ₊₁ ∑ₛᵢgₘₐ∈Sh(i,n-i) (-1)ᵉ⁽ˢⁱᵍᵐᵃ⁾ lⱼ ( lᵢ(xₛᵢgₘₐ₍₁₎, …, xₛᵢgₘₐ₍ᵢ₎), xₛᵢgₘₐ₍ᵢ₊₁₎, …, xₛᵢgₘₐ₍ₙ₎) = 0
ここで、Sh(i,n-i) は (i, n - i)-シャッフル、ε(sigma) は符号関数である。
これにより、高次のゲージ対称性や非可換性を持つ物理理論をモデル化できる。
安定ホモトピー理論では、スペクトラムを基本的な対象として扱う。スペクトラム E は、位相空間やスペースの系列 {Eₙ} と構造写像 Σ Eₙ → Eₙ₊₁ からなる。
πₙˢ = colimₖ→∞ πₙ₊ₖ(Sᵏ)
ここで、Sᵏ は k-次元球面である。これらの群は、物理理論における安定な位相的特性を捉える。
物理的な相関関数は、コホモロジー類を用いて以下のように表現される：
⟨𝒪₁ … 𝒪ₙ⟩ = ∫ₘ ω𝒪₁ ∧ … ∧ ω𝒪ₙ
ここで、ℳ はモジュライ空間、ω𝒪ᵢ は観測量 𝒪ᵢ に対応する微分形式またはコホモロジー類である。
先に述べた抽象数学的枠組みを用いて、M理論の重要な定理であるM理論とIIA型超弦理論の双対性を導出する。この双対性は、M理論が11次元での理論であり、円 S¹ に沿ってコンパクト化するとIIA型超弦理論と等価になることを示している。
時空間の設定：
H•(ℳ₁₁, ℤ) ≅ H•(ℳ₁₀, ℤ) ⊗ H•(S¹, ℤ)
これにより、11次元のコホモロジーが10次元のコホモロジーと円のコホモロジーのテンソル積として表される。
C-場の量子化条件：
M理論の3形式ゲージ場 C の場の強度 G = dC は、整数係数のコホモロジー類に属する。
[G] ∈ H⁴(ℳ₁₁, ℤ)
デリーブド代数幾何学では、フィールド C はデリーブドスタック上のコホモロジー類として扱われる。
非可換トーラスの導入：
円 S¹ のコンパクト化を非可換トーラス 𝕋θ としてモデル化する。非可換トーラス上の座標 U, V は以下の交換関係を満たす。
UV = e²ᵖⁱθ VU
非可換トーラス上のK-理論群 K•(𝕋θ) は、Dブレーンのチャージを分類する。
K•(ℳ₁₁) ≅ K•(ℳ₁₀)
𝕊ₘ ≃ Σ𝕊ᵢᵢₐ
ここで、Σ はスペクトラムの懸垂（suspension）函手である。
デリーブド代数幾何学、非可換幾何学、および安定ホモトピー理論の枠組みを用いると、11次元のM理論を円 S¹ 上でコンパクト化した極限は、IIA型超弦理論と数学的に等価である。
(b) 非可換性の考慮
最初期宇宙の基本構造を記述するために、位相的弦理論の圏論的定式化を用いる。
定義: 位相的A模型の圏論的記述として、Fukaya圏 ℱ(X) を考える。ここで X は Calabi-Yau 多様体である。
対象: (L, E, ∇)
射: Floer コホモロジー群 HF((L₁, E₁, ∇₁), (L₂, E₂, ∇₂))
この圏の導来圏 Dᵇ(ℱ(X)) が、A模型の D-ブレーンの圏を与える。
最初期宇宙の量子構造をより精密に記述するために、導来代数幾何学を用いる。
𝔛: (cdga⁰)ᵒᵖ → sSet
ここで cdga⁰ は次数が非正の可換微分次数付き代数の圏、sSet は単体的集合の圏である。
𝔛 上の準コヒーレント層の ∞-圏を QCoh(𝔛) と表記する。
宇宙の大規模構造の位相的性質を記述するために、モチーフ理論を適用する。
定義: スキーム X に対して、モチーフ的コホモロジー Hⁱₘₒₜ(X, ℚ(j)) を定義する。
これは、Voevodsky の三角圏 DM(k, ℚ) 内での Hom として表現される：
Hⁱₘₒₜ(X, ℚ(j)) = Hom_DM(k, ℚ)(M(X), ℚ(j)[i])
最初期宇宙の高次ゲージ構造を記述するために、∞-Lie 代数を用いる。
定義: L∞ 代数 L は、次数付きベクトル空間 V と、n 項ブラケット lₙ: V⊗ⁿ → V の集合 (n ≥ 1) で構成され、一般化されたヤコビ恒等式を満たすものである。
Σₙ₌₁^∞ (1/n!) lₙ(x, ..., x) = 0
最初期宇宙の量子重力効果を記述するために、圏値場の理論を用いる。
定義: n-圏値の位相的量子場の理論 Z を、コボルディズム n-圏 Cob(n) から n-圏 𝒞 への対称モノイダル函手として定義する：
Z: Cob(n) → 𝒞
特に、完全拡張場の理論は、Lurie の分類定理によって特徴づけられる。
最初期宇宙の量子情報理論的側面を記述するために、von Neumann 代数を用いる。
定義: von Neumann 代数 M 上の状態 ω に対して、相対エントロピー S(ω || φ) を以下のように定義する：
S(ω || φ) = {
tr(ρω (log ρω - log ρφ)) if ω ≪ φ
+∞ otherwise
}
ここで ρω, ρφ はそれぞれ ω, φ に対応する密度作用素である。
最初期宇宙の量子時空構造を記述するために、非可換幾何学を用いる。
∫_X f ds = Tr_ω(f|D|⁻ᵈ)
匿名サイト上のコミュニケーションシステムを、抽象的な非可換力学系として捉えます。この系を記述するため、von Neumann 代数 M 上の量子力学的フレームワークを採用します。
M を II_1 型因子とし、その上のトレース状態を τ とします。系の時間発展は、M 上の自己同型写像 α_t: M → M (t ∈ R) によって与えられるとします。この α_t は強連続な一径数自己同型群を成すと仮定します。
系のエントロピーを、Connes-Størmer エントロピーとして定義します：
h(α) = sup{h_τ(α,N) | N ⊂ M は有限次元von Neumann部分代数}
ここで、h_τ(α,N) は N に関する相対エントロピーレートです。
エントロピー最小化問題を、以下の変分問題として定式化します：
この問題に対するアプローチとして、非可換 Lp 空間の理論を用います。p ∈ [1,∞] に対し、Lp(M,τ) を M の非可換 Lp 空間とし、||x||_p = (τ(|x|^p))^(1/p) をそのノルムとします。
エントロピー汎関数の連続性を保証するため、超弱位相よりも強い位相を導入します。具体的には、L1(M,τ) と M の積位相を考えます。この位相に関して、エントロピー汎関数 h の下半連続性が成り立ちます。
次に、Tomita-Takesaki モジュラー理論を適用します。τ に付随するモジュラー自己同型群を σ_t とし、KMS 条件を満たす平衡状態を考察します。これにより、系の熱力学的性質とエントロピーの関係を明らかにします。
エントロピー最小化のための具体的な戦略として、非可換 Lp 空間上の勾配流を考えます。エントロピー汎関数 h の L2-勾配を ∇h とし、以下の発展方程式を導入します：
dα_t/dt = -∇h(α_t)
この方程式の解の存在と一意性を、非線形半群理論を用いて証明します。さらに、解の長時間挙動を分析し、エントロピー最小の状態への収束を示します。
系の構造をより詳細に理解するため、M の部分因子 N ⊂ M を考え、Jones の基本構成 M_1 = ⟨M,e_N⟩ を行います。ここで e_N は N 上への条件付き期待値の拡張です。この構成を繰り返すことで、Jones タワー
N ⊂ M ⊂ M_1 ⊂ M_2 ⊂ ...
を得ます。各段階でのエントロピーの変化を追跡することで、系の階層構造とエントロピー最小化の関係を明らかにします。
最後に、自由確率論の観点から系を分析します。M 内の自由独立な部分代数の族 {A_i} を考え、それらの自由積 *_i A_i を構成します。自由エントロピーを
χ(X_1,...,X_n) = lim_m→∞ (1/m) S(tr_m ⊗ τ)(p_m(X_1),...,p_m(X_n))
と定義し、ここで X_1,...,X_n ∈ M、p_m は m 次の行列代数への埋め込み、S は古典的エントロピーです。
この自由エントロピーを用いて、系の非可換性とエントロピー最小化の関係を探ります。特に、自由次元 δ(M) = n - χ(X_1,...,X_n) を計算し、これが系のエントロピー最小化能力の指標となることを示します。
以上のフレームワークにより、匿名サイト上のエントロピー最小化問題を、非可換確率論と作用素代数の言語で記述し、解析することが可能となります。
量子力学の観測問題を、高次圏論、導来代数幾何学、および量子位相場の理論を統合した枠組みで定式化する。
基礎構造として、(∞,n)-圏 C を導入し、その導来スタック Spec(C) を考える。観測過程を表現するために、Spec(C) 上の導来量子群スタック G を定義する。G の余代数構造を (Δ: O(G) → O(G) ⊗L O(G), ε: O(G) → O(Spec(C))) とする。ここで ⊗L は導来テンソル積を表す。
観測を ω: O(G) → O(Spec(C)) とし、観測後の状態を (id ⊗L ω) ∘ Δ: O(G) → O(G) で表す。エントロピーを高次von Neumannエントロピーの一般化として、S: RMap(O(G), O(G)) → Sp^n として定義する。ここで RMap は導来写像空間、Sp^n は n-fold loop space のスペクトラム対象である。観測によるエントロピー減少は S((id ⊗L ω) ∘ Δ) < S(id) で表現される。
デコヒーレンスを表す完全正(∞,n)-関手 D: RMap(O(G), O(G)) → RMap(O(G), O(G)) を導入し、S(D(f)) > S(f) for f ∈ RMap(O(G), O(G)) とする。
観測者の知識状態を表現するために、G-余加群スタック M を導入する。観測過程における知識状態の変化を (ω ⊗L id) ∘ ρ: M → M で表す。ここで ρ: M → O(G) ⊗L M は余作用である。
分岐を表現するために、O(G) の余イデアルの(∞,n)-族 {Ii}i∈I を導入する。各分岐に対応する射影を πi: O(G) → O(G)/LIi とする。観測者の知識による分岐の選択は、自然(∞,n)-変換 η: id → ∏i∈I ((O(G)/LIi) ⊗L -) として表現される。
知識状態の重ね合わせは、M の余積構造 δ: M → M ⊗L M を用いて表現される。
さらに、量子位相場の理論との統合のために、Lurie の圏化された量子場の理論の枠組みを採用する。n次元ボルディズム(∞,n)-圏 Bord_n に対し、量子場理論を表す対称モノイダル(∞,n)-関手 Z: Bord_n → C と定義する。
観測過程は、この関手の値域における状態の制限として記述される。具体的には、閉じたn-1次元多様体 Σ に対する状態 φ: Z(Σ) → O(Spec(C)) を考え、ボルディズム W: Σ → Σ' に対する制限 φ|W: Z(W) → O(Spec(C)) を観測過程として解釈する。
完備確率空間 (Ω, ℱ, ℙ) 上で、右連続増大フィルトレーション {ℱₜ}ₜ≥₀ を考える。
状態空間として、実可分ヒルベルト空間 ℋ を導入し、その上のトレース類作用素のなす空間を 𝓛₁(ℋ) とする。
システムダイナミクスを以下の無限次元確率微分方程式で記述する：
dXₜ = [AXₜ + F(Xₜ, uₜ)]dt + G(Xₜ)dWₜ
ここで、Xₜ ∈ ℋ は状態変数、A は無限次元線形作用素、F, G は非線形作用素、uₜ は制御変数、Wₜ は Q-Wiener プロセスである。
経済主体の最適化問題を、以下の抽象的な確率最適制御問題として定式化する：
ここで、𝓤 は許容制御の集合、L: ℋ × 𝓤 → ℝ は汎関数である。
価値汎関数 V: ℋ → ℝ に対する無限次元Hamilton-Jacobi-Bellman方程式：
ρV(x) = sup{L(x, u) + ⟨AX + F(x, u), DV(x)⟩ℋ + ½Tr[G(x)QG*(x)D²V(x)]}
ここで、DV と D²V はそれぞれFréchet微分と2次Fréchet微分を表す。
システムの確率分布の時間発展を記述する無限次元Fokker-Planck方程式：
∂p/∂t = -divℋ[(Ax + F(x, u))p] + ½Tr[G(x)QG*(x)D²p]
ここで、p: ℋ × [0, ∞) → ℝ は確率密度汎関数、divℋ はヒルベルト空間上の発散作用素である。
dλₜ = -[A*λₜ + DₓF*(Xₜ, uₜ)λₜ + DₓL(Xₜ, uₜ)]dt + νₜ dWₜ
ここで、λₜ は無限次元随伴過程、A* は A の共役作用素である。
価格過程の一般的な表現を、以下の無限次元マルチンゲール問題として定式化する：
Mₜ = 𝔼[M_T | ℱₜ] = M₀ + ∫₀ᵗ Φₛ dWₛ
ここで、Mₜ は ℋ 値マルチンゲール、Φₜ は予測可能な 𝓛₂(ℋ) 値過程である。
Girsanovの定理の無限次元拡張を用いて、以下の測度変換を考える：
dℚ/dℙ|ℱₜ = exp(∫₀ᵗ ⟨θₛ, dWₛ⟩ℋ - ½∫₀ᵗ ‖θₛ‖²ℋ ds)
インフレーション動学を、以下の無限次元確率偏微分方程式で記述する：
dπₜ = [Δπₜ + f(πₜ, iₜ, Yₜ)]dt + σ(πₜ)dWₜ
ここで、Δ はラプラシアン、f と σ は非線形作用素、iₜ は金利、Yₜ は総産出である。
小さなパラメータ ε に関して、解を以下のように関数空間上で展開する：
Xₜ = X₀ + εX₁ + ε²X₂ + O(ε³)
dwₜ = [Bwₜ + H(wₜ, πₜ, iₜ, Yₜ)]dt + K(wₜ)dWₜ
ここで、B は線形作用素、H と K は非線形作用素である。
金利上昇の実質賃金への影響は、以下の汎関数微分で評価できる：
δ𝔼[wₜ]/δiₜ = lim(ε→0) (𝔼[wₜ(iₜ + εh) - wₜ(iₜ)]/ε)
1. 非可換確率論：
量子確率論の枠組みを導入し、不確実性のより一般的な記述を行う。
経済均衡の位相的構造を分析し、均衡の安定性を高次ホモトピー群で特徴付ける。
4. 超準解析：
無限次元確率動的一般均衡モデルは、金利、インフレーション、実質賃金の相互作用を一般的な形で記述している。
モデルの複雑性により、具体的な解を得ることは不可能に近いが、この理論的枠組みは経済現象の本質的な構造を捉えることを目指している。
このアプローチは、金利上昇がインフレ抑制を通じて実質賃金に与える影響を、無限次元確率過程の観点から分析することを可能にする。
しかし、モデルの抽象性と現実経済の複雑性を考慮すると、具体的な政策提言への直接的な適用は不適切である。
このモデルは、経済学の理論的基礎を数学的に提供するものであり、実際の経済分析や政策決定には、この抽象的枠組みから導かれる洞察を、より具体的なモデルや実証研究と慎重に組み合わせて解釈する必要がある。
このレベルの抽象化は、現代の経済学研究の最前線をはるかに超えており、純粋に理論的な探求としての意義を持つものであることを付記する。
M を11次元コンパクト多様体、G を複素簡約代数群、L(G) をそのラングランズ双対群とする。
D^b(M) を M 上のコヒーレント層の導来圏、D^b(Bun_G(M)) を M 上の G-主束のモジュライ空間 Bun_G(M) 上のコヒーレント層の導来圏とする。
以下の圏同値を構築する：
Φ: D^b(D_M) ≃ D^b(Coh(Bun_L(G)(M)))
M 上の Chern-Simons 理論の量子化を考える。その分配関数 Z(M,k) を以下のように定義する：
ここで、CS(A) は Chern-Simons 作用である。
F: D^b(Bun_G(M)) → Mod(MF_q)
を構築する。ここで、Mod(MF_q) は有限体 F_q 上のモチーフの圏である。
G の既約表現 ρ に対し、以下の等式を予想する：
L(s,ρ,M) = det(1 - q^(-s)F|H*(M,V_ρ))^(-1)
ここで、V_ρ は ρ に付随する M 上のローカル系である。
以下の図式が可換であることを示す：
D^b(D_M) --Φ--＞ D^b(Coh(Bun_L(G)(M))) | | | | F F | | V V Mod(MF_q) -----≃----＞ Mod(MF_q)
M の次元を一般の n に拡張し、Voevodsky のモチーフ理論を用いて、上記の構成を高次元化する。
以上の構成により、M理論の幾何学的構造とラングランズ・プログラムの数論的側面の関連を見た。このモデルは、導来圏論、量子場の理論、モチーフ理論を統一的に扱う枠組みを提供するものである。
今後の課題として、この理論的枠組みの厳密な数学的基礎付けと、具体的な計算可能な例の構築が挙げられる。特に、Langlands スペクトラル分解との関連や、Grothendieck の標準予想との整合性の検証が重要である。
∀x, y ∈ X, x ≿ y ∨ y ≿ x
∀x, y, z ∈ X, (x ≿ y ∧ y ≿ z) ⇒ x ≿ z
∀x ∈ X, {y ∈ X | y ≿ x} と {y ∈ X | x ≿ y} は X において閉集合
∀x, y, z ∈ X, ∀α ∈ (0, 1), (x ≿ z ∧ y ≿ z) ⇒ αx + (1-α)y ≿ z
関数 u: X → ℝ が以下を満たすとき、u を選好関係 ≿ の効用関数と呼ぶ：
∀x, y ∈ X, x ≿ y ⇔ u(x) ≥ u(y)
効用関数 u: X → ℝ に対して、任意の r ∈ ℝ に対する無差別集合 I_r を以下で定義する：
I_r = {x ∈ X | u(x) = r}
公理 1-4 を満たす選好関係 ≿ に対応する効用関数 u が連続であるとき、任意の r ∈ ℝ に対して、I_r は X の閉集合である。
証明：
u の連続性より、I_r = u^(-1)({r}) は X の閉集合である。
公理 1-4 を満たす選好関係 ≿ に対応する効用関数 u が準凹であるとき、任意の r ∈ ℝ に対して、I_r は凸集合である。
証明：
x, y ∈ I_r, α ∈ (0, 1) とする。u の準凹性より、
u(αx + (1-α)y) ≥ min{u(x), u(y)} = r
一方、u(αx + (1-α)y) > r とすると、公理 4 に矛盾する。
よって、u(αx + (1-α)y) = r となり、αx + (1-α)y ∈ I_r が示される。
X が Banach 空間のとき、関数 f: X → ℝ が点 x ∈ X で Gâteaux 微分可能であるとは、任意の h ∈ X に対して以下の極限が存在することをいう：
δf(x; h) = lim_{t→0} (f(x + th) - f(x)) / t
効用関数 u: X → ℝ が Gâteaux 微分可能であるとき、点 x ∈ X における財 i と財 j の間の限界代替率 MRS_{ij}(x) を以下で定義する：
MRS_{ij}(x) = -δu(x; e_i) / δu(x; e_j)
ただし、e_i, e_j は i 番目、j 番目の基底ベクトルとする。
X が Hilbert 空間で、効用関数 u: X → ℝ が二回連続 Fréchet 微分可能かつ強凹であるとき、任意の x ∈ X と任意の i ≠ j に対して、
∂MRS_{ij}(x) / ∂x_i < 0
証明：
u の強凹性より、任意の h ≠ 0 に対して、
⟨D²u(x)h, h⟩ < 0
これを用いて、MRS の偏導関数の符号を評価することで証明が完了する。
X が局所凸位相線形空間、p ∈ X* (X の双対空間)、w ∈ ℝ とする。
効用関数 u: X → ℝ が連続かつ準凹で、以下の問題の解 x* が存在するとき、
max u(x) subject to ⟨p, x⟩ ≤ w, x ∈ X
ある λ ≥ 0 が存在して、以下が成り立つ：
1. ⟨p, x*⟩ = w
2. ∀y ∈ X, u(y) > u(x*) ⇒ ⟨p, y⟩ > w
3. δu(x*; h) ≤ λ⟨p, h⟩, ∀h ∈ X
証明：
超平面分離定理を用いて、{y ∈ X | u(y) > u(x*)} と {y ∈ X | ⟨p, y⟩ ≤ w} が分離可能であることを示し、そこから条件を導出する。
定義 1: M理論の基礎空間を (M, g) とする。ここで M は 11 次元 C∞ 多様体、g は符号 (-,+,...,+) のローレンツ計量とする。
定義 2: M 上の主束 P(M, Spin(1,10)) をスピン構造とし、関連するスピノール束を S とする。
定義 3: M 上の外積代数を Λ*(M) とし、特に Λ³(M) と Λ⁴(M) に注目する。
C = {(g, C, ψ) | g ∈ Met(M), C ∈ Γ(Λ³(M)), ψ ∈ Γ(S)}
ここで Met(M) は M 上のローレンツ計量全体、Γ は滑らかな切断を表す。
定理 1 (作用汎関数): M理論の作用 S: C → ℝ は以下で与えられる：
S[g, C, ψ] = ∫_M (R * 1 - 1/2 dC ∧ *dC - 1/6 C ∧ dC ∧ dC - ψ̄D̸ψ) vol_g
ここで R はスカラー曲率、D̸ はディラック作用素、vol_g は g による体積要素である。
定理 2 (場の方程式): δS = 0 から以下の Euler-Lagrange 方程式が導かれる：
1. Einstein 方程式： Ric(g) - 1/2 R g = T[C, ψ]
2. C-場の方程式： d*dC + 1/2 dC ∧ dC = 0
ここで Ric(g) は Ricci テンソル、T[C, ψ] はエネルギー運動量テンソルである。
定義 5: M の 7 次元コンパクト化を X とし、M = R^(1,3) × X と分解する。
定義 6: X 上の G₂ 構造を φ ∈ Ω³(X) とし、以下を満たすものとする：
1. dφ = 0
2. d*φ = 0
3. (x ↦ i_x φ ∧ i_y φ ∧ φ) は X 上の Riemann 計量を定める。
定理 3 (Holonomy reduction):X が G₂ 構造を持つとき、X の holonomy 群は G₂ の部分群に含まれる。
定義 7: X 上の接束の構造群を G₂ に制限する縮約を σ: P → X とする。ここで P は主 G₂ 束である。
定義 8: M の K 理論群を K(M) とし、その Chern 指標を ch: K(M) → H^even(M; ℚ) とする。
定理 4 (Anomaly cancellation): M理論の量子異常が相殺されるための必要十分条件は以下である：
I₈ = 1/48 [p₂(M) - (p₁(M)/2)²] = 0
ここで p₁(M), p₂(M) は M の Pontryagin 類である。
定理 5 (Index theorem): M 上の Dirac 作用素 D̸ の指数は以下で与えられる：
ind(D̸) = ∫_M Â(M) ch(S)
ここで Â(M) は M の Â-genus、ch(S) は S の Chern 指標である。
定義 9: 位相的 CW 複体の圏を Top、アーベル群の圏を Ab とする。
定理 6 (T-duality): 適切な条件下で、以下の同型が存在する：
K(X × S¹) ≅ K(X × S¹)
定理 7 (S-duality): 適切な条件下で、以下の同型が存在する：
H^k(M; ℤ) ≅ H_{11-k}(M; ℤ)
sup_{x ∈ U(X)} x subject to φ(x) ≤ w
ここで、φ: U(X) → ℝ は連続線形汎関数、w ∈ ℝ は初期富である。
sup_{y ∈ T_p𝓜} ω(y)
生産対応を η: T*𝓜 → 2^{T𝓜} とし、以下の条件を満たす：
∀ω ∈ T*𝓜, η(ω) = {y ∈ T_p𝓜 : dω(y) = 0}
ℰ = ((ℋ_i, π_i, Ω_i)_{i ∈ I}, (T_j)_{j ∈ J})
ここで、
状態 (ψ_i*)_{i ∈ I} と価格作用素 P ∈ 𝒜 が均衡であるとは、以下を満たすことを言う：
1. ∀i ∈ I, ψ_i* = arg max_{ψ ∈ ℋ_i} ⟨ψ, π_i(P)ψ⟩ subject to ⟨ψ, π_i(P)ψ⟩ ≤ ⟨Ω_i, π_i(P)Ω_i⟩ + ∑_{j ∈ J} θ_{ij} τ(PT_j)
2. ∀j ∈ J, T_j = arg max_{T ∈ 𝒜} τ(PT)
3. ∑_{i ∈ I} (ψ_i* - Ω_i) = ∑_{j ∈ J} T_j
ここで、τ は 𝒜 上のトレース、θ_{ij} は消費者 i の生産者 j に対する利潤シェアである。
(𝒜, ℋ, D)
ここで、
[D, π(a)] = 0, ∀a ∈ 𝒜_{eq}
ここで、𝒜_{eq} ⊂ 𝒜 は均衡状態を表す部分代数、π は 𝒜 の ℋ 上の表現である。
H: [0,1] × X → X
ここで、X は経済状態空間、H(0,x) = x_0（初期状態）、H(1,x) = x*（均衡状態）である。
M理論の幾何学を最も抽象的かつ厳密に記述するには、圏論的アプローチが不可欠でござる。
M理論の幾何学的構造は、三角圏の枠組みで捉えることができるのでござる。特に、カラビ・ヤウ多様体 X の導来圏 D⁰(Coh(X)) が中心的役割を果たすのでござる。
定義：D⁰(Coh(X)) は連接層の有界導来圏であり、以下の性質を持つのでござる：
1. 対象：連接層の複体
この圏上で、Fourier-向井変換 Φ: D⁰(Coh(X)) → D⁰(Coh(X̂)) が定義され、これがミラー対称性の数学的基礎となるのでござる。
2. 各対の対象 X,Y に対する次数付きベクトル空間 hom𝒜(X,Y)
3. 次数 2-n の演算 mₙ: hom𝒜(Xₙ₋₁,Xₙ) ⊗ ⋯ ⊗ hom𝒜(X₀,X₁) → hom𝒜(X₀,Xₙ)
これらは以下のA∞関係式を満たすのでござる：
∑ᵣ₊ₛ₊ₜ₌ₙ (-1)ʳ⁺ˢᵗ mᵣ₊₁₊ₜ(1⊗ʳ ⊗ mₛ ⊗ 1⊗ᵗ) = 0
この構造は、Fukaya圏の基礎となり、シンプレクティック幾何学とM理論を結びつけるのでござる。
M理論の完全な幾何学的記述には、高次圏論、特に(∞,1)-圏が必要でござる。
定義：(∞,1)-圏 C は以下の要素で構成されるのでござる：
2. 各対の対象 x,y に対する写像空間 MapC(x,y)（これも∞-グルーポイド）
3. 合成則 MapC(y,z) × MapC(x,y) → MapC(x,z)（これはホモトピー整合的）
この構造により、M理論における高次ゲージ変換や高次対称性を厳密に扱うことが可能になるのでござる。
M理論の幾何学は、導来代数幾何学の枠組みでより深く理解できるのでござる。
定義：導来スタック X は、以下の関手として定義されるのでござる：
X: CAlg𝔻 → sSet
ここで、CAlg𝔻 は単体的可換環の∞-圏、sSet は単体的集合の∞-圏でござる。
この枠組みにおいて、M理論のモジュライ空間は導来スタックとして記述され、その特異性や高次構造を厳密に扱うことが可能になるのでござる。
M理論の幾何学的側面は、量子コホモロジー環 QH*(X) を通じて深く理解されるのでござる。
定義：QH*(X) = H*(X) ⊗ ℂ[[q]] で、積構造は以下で与えられるのでござる：
α *q β = ∑A∈H₂(X,ℤ) (α *A β) qᴬ
ここで、*A はGromov-Witten不変量によって定義される積でござる：
α *A β = ∑γ ⟨α, β, γ∨⟩₀,₃,A γ
1. (多様体構造) M は滑らかな11次元位相多様体である。
2. (ゲージ構造) E は M 上のベクトルバンドルで、構造群 G を持つ。
3. (超対称性) M 上に32個の超対称性生成子 Q_α (α = 1, ..., 32) が存在し、以下の反交換関係を満たす：
{Q_α, Q_β} = 2(CΓ^μ)_αβ P_μ + Z_αβ
ここで C は電荷共役行列、Γ^μ はガンマ行列、P_μ は運動量演算子、Z_αβ は中心電荷。
S = ∫_M (R * 1 + 1/2 * F ∧ *F + ψ̄Γ^μ∇_μψ + ...)
ここで R はスカラー曲率、* はHodgeのスター演算子。
5. (双対性) 異なるコンパクト化 M → M' に対して、物理的に等価な理論が得られる。
エネルギーが中心電荷で下から押さえられるBPS状態が存在する。
証明:
1. 超対称性代数から、エネルギー演算子 H は以下の不等式を満たす：
H ≥ √(Z_αβ Z^αβ)
2. この不等式の等号が成り立つ状態を BPS 状態と呼ぶ。
3. 超対称性の表現論により、このような状態は必ず存在する。
M2ブレーンの張力 T_M2 は、11次元プランク長 l_p を用いて以下のように与えられる：
T_M2 = 1 / (4π²l_p³)
証明:
3. 次元解析により、張力 T_M2 の次元が [長さ]^(-3) であることがわかる。
M理論を用いたビッグバンの数理的解明は、現代理論物理学の最前線に位置する課題である。以下に、より厳密な数学的枠組みを用いてこの問題にアプローチする。
(M¹¹, g) ≅ (R¹,³ × X⁷, η ⊕ h)
ここで、M¹¹は11次元多様体、gはその上の計量、R¹,³はミンコフスキー時空、X⁷はコンパクトな7次元多様体、ηはミンコフスキー計量、hはX⁷上のリッチ平坦計量である。
M理論の超対称性は、以下のスピノール方程式で特徴づけられる：
D_μ ε = 0
ここで、D_μはスピン接続、εは11次元のMajorana-Weylスピノールである。
M2-ブレーンの動力学は、以下のNambu-Goto型作用で記述される：
S[X] = -T_2 ∫_Σ d³σ √(-det(g_αβ))
ここで、T_2はブレーン張力、g_αβ = ∂_αX^μ ∂_βX^ν G_μνはブレーンの誘導計量、G_μνは背景時空の計量である。
ビッグバンを膜の衝突として捉える場合、以下の位相的遷移を考える：
M¹¹ ⊃ M₁ ∪ M₂ → M'
ここで、M₁とM₂は衝突前の膜宇宙、M'は衝突後の統合された宇宙を表す。この遷移は、コボルディズム理論の枠組みで厳密に定式化される。
11次元重力定数G₁₁と4次元重力定数G₄の関係は、以下の積分方程式で表される：
1/G₄ = Vol(X⁷)/G₁₁
ここで、Vol(X⁷) = ∫_X⁷ √det(h) d⁷y はX⁷の体積である。
M理論の無矛盾性は、以下のBianchi恒等式とアノマリー相殺条件によって保証される：
dH = 1/(2π)² [p₁(R) - 1/2 tr F² + tr R²]
ここで、Hは3形式場、p₁(R)は第一ポントリャーギン類、FとRはそれぞれゲージ場と重力場の曲率である。
Multiverse ≅ lim→ (M_i, φ_ij)
ここで、M_iは個々の宇宙、φ_ijは宇宙間の遷移を表す射である。
これらの数学的構造は、M理論を用いたビッグバンの理解に対して厳密な基礎を提供する。しかしながら、完全な証明には至っておらず、特に量子重力効果の非摂動的取り扱いや、実験的検証可能性の問題が残されている。今後、代数幾何学や位相的場の理論などの高度な数学的手法を用いた更なる研究が期待される。
1. (X, 𝒯) を局所凸ハウスドルフ位相線形空間とする。
2. ℱ ⊂ X を弱コンパクト凸集合とする。
3. 各 i ∈ I (ここで I は可算または非可算の指標集合) に対して、効用汎関数 Uᵢ: X → ℝ を定義する。Uᵢ は弱連続かつ擬凹とする。
4. 社会厚生汎関数 W: ℝᴵ → ℝ を定義する。W は弱連続かつ単調増加とする。
sup[y∈ℱ] W((Uᵢ(y))ᵢ∈I)
定理: ℱ が弱コンパクトで、全ての Uᵢ が弱上半連続、W が上半連続ならば、最適解が存在する。
P: sup[y∈ℱ] W((Uᵢ(y))ᵢ∈I)
D: inf[λ∈Λ] sup[y∈X] {W((Uᵢ(y))ᵢ∈I) - ⟨λ, y⟩}
定理 (強双対性): 適切な制約想定のもとで、sup P = inf D が成立する。
∂W を W の劣微分とし、∂Uᵢ を各 Uᵢ の劣微分とする。
0 ∈ ∂(W ∘ (Uᵢ)ᵢ∈I)(y*) + Nℱ(y*)
ここで、Nℱ(y*) は y* における ℱ の法錐である。
T: X → X* を以下のように定義する：
⟨Ty, h⟩ = Σ[i∈I] wᵢ ⟨∂Uᵢ(y), h⟩
ここで、wᵢ ∈ ∂W((Uᵢ(y))ᵢ∈I) である。
⟨Ty*, y - y*⟩ ≤ 0, ∀y ∈ ℱ
L: X → X を L = T ∘ Pℱ と定義する。ここで Pℱ は ℱ 上への射影作用素である。
定理: L のスペクトル半径 r(L) が1未満であれば、最適解は一意に存在し、反復法 y[n+1] = Ly[n] は最適解に収束する。
(Ω, 𝒜, μ) を確率空間とし、U: Ω × X → ℝ を可測な効用関数とする。
定理: 適切な条件下で、以下が成立する：
sup[y∈ℱ] ∫[Ω] U(ω, y) dμ(ω) = ∫[Ω] sup[y∈ℱ] U(ω, y) dμ(ω)
効用関数の族 (Uᵢ)ᵢ∈I を圏 𝐓𝐨𝐩 における関手 U: I → 𝐓𝐨𝐩 と見なす。ここで I は離散圏である。
