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はてなキーワード: 代数とは
そいつも「俺は診断済みのアスペだ」「俺は理性的な人間だ」「合理的な文章なら分かる」「平易に説明しろ」と主張していた。
実際はちょっと煽られるとすぐキレてスレを荒らし始め、落ち度を指摘されると「その指摘はいくらなんでも無理筋だ」「お前ら(※個と集団を区別できていない)の指示を俺が聞けばお前らの独裁制だ。俺には自由がある」「理解ができないことを言うな。説明しろ」「書き込みに中身が無い。意味のあることを書け」とか逆ギレしていた。
指摘側は無理筋でも支離滅裂でも無かった。ただそいつにとって都合が悪いことを言っただけだった(連投すんなとか、ちゃんと読めとか、お前の言ってることはおかしいとか、阿呆は帰れとか、寝言は寝て言えとか)。
そして論理代数における「逆・裏・対偶」が理解できず、「逆は真」「真でないものは全て偽」という仮定を使って頭の中でどんどん命題を短縮し、何でもかんでも都合が悪ければ「嘘」と呼んで否定していた。ミミックの鳴き声としか思えなかった。理性的でも何でもない、魂が欠落した何かだった。
例の旅レポ記事を見て「お願いなら承ります」という表現に強烈な既視感を覚えた。同じだ。こいつは「他人が発する声は、全て俺への『参考情報』であり、命令としての意味は無い」と思っているのだ。
こいつの「承る」というのは「俺の気に触らない限り、戯れにやってみるのも一興だとは思うぞ」という意味だ。「お茶を一杯飲んでくれませんか」と言われて、その時に喉が乾いていれば「そんなことをしてほしいんですかあ? 飲んでやりましょう」と「承る」程度の意味だ。「お互いの健康のためにマスクの着用を」と言われて「仕方ねえなあ」と着けるという意味では決してない。
結局のところ、あれは自閉症の症状なんだろう。ある種の高度な論理を扱う機能や、世界を多数の主体が存在する空間として捉える機能の発達が遅れて/止まって/失われていて、日本語は解するものの、言語コミュニケーションやコミュニティでの共同作業が行える状態にないのだ。
そういう奴はどう扱えば良いんだろうな。規則と強制力をセットで与えれば、それが「環境」だと認識して従おうとするが、常に機会を伺っていて、ひね曲がった自分の理屈と曲解した規則が噛み合う所を探してゴネたり他人に牙を剥いたり、強制力が緩んだ時に規則を破ったりするんだよなぁ。
フランス革命の頃なら焼き殺せば済んだんだろうが…
公理から初めて論述によって命題を示すという手法は現代数学の基本
ユークリッド幾何学では厳密な論証を学ぶことができる
もしユークリッド幾何学を学ばなければ抽象代数学などが理解できなくなることは明らか
微分積分などだけを教えていると群論やガロア理論などが理解できなくなってしまう
ガロア理論では作図が主に扱われるからユークリッド幾何学応用になっている
ユークリッド幾何学はまず中初等教育において論述を教える題材として適している
代数などはただの計算であって厳密ではないがユークリッド幾何学は公理から始めて曖昧さなく命題を示す
これは現代数学の基本であって群論やガロア理論を学ぶ際に必要な能力
代数では多項式とは？集合とは？などが厳密に説明されていないがユークリッド幾何学には曖昧さは無い
ユークリッド幾何学が扱う題材は図形であって初等教育にも馴染みやすい
現代数学を厳密に展開するには公理的集合論まで遡らねばならないが
このような条件を満たす単元は他には無い
群論やガロア理論などの抽象代数学はユークリッド幾何学の考えを継承している
これらが確立されたのは18世紀であり微分積分などはそれよりも大分昔の理論だから厳密性がない
ユークリッド幾何学は現代数学のモデルであるから論述を教えることができる
群論やガロア理論は対称性を扱う数学で対称性とは回転や相似変換などの一般化だから
やはりユークリッド幾何学を学ぶことは群論やガロア理論を学ぶことに役立つ
特に群論では、群の正規群（特異点を持たない群）による商で対称性を分類する
この割り算にはユークリッドの互除法のアルゴリズムを用いることができるからユークリッド幾何学の応用になっている
群論の一部であるリー群ではユークリッド空間の回転である直交群を扱うからこれもユークリッド幾何学が直接役に立つ
ユークリッド幾何学では公理系から始めて命題を証明するがこれは現代数学の基本
群論やガロア理論もこのスタイルを継承していてユークリッド幾何学を学ばないと抽象代数学が理解できない
ガロア理論はユークリッド幾何学と同様に、対称性の公理から作図可能性を論ずる
これはいくつかの公理から始めて可能な手順の組み合わせを厳密に論述することで様々な図形を作図していく
ヒルベルトが提唱した円積問題などもこの応用であって、現代数学において極めて重要
ユークリッド幾何学は公理から始めて論述のみによって命題を証明する
これは現代数学の基本であってガロアの理論やヒルベルトの理論などがその手法を受け継いでいる
ユークリッド幾何学をやらないと抽象代数学などを理解できなくなってしまう
代数などでは計算しかやらず概念の定義が曖昧だがユークリッド幾何学の論述には曖昧さが一切無く
ここでいう「ユークリッド幾何学」とは、座標空間、ベクトル、三角関数、微分積分などの解析的手法を用いないいわゆる総合幾何学のことです(*1)。2020年8月現在の高校数学のカリキュラムでいえば、「数学A」の「図形の性質」に該当する分野です。
ユークリッド幾何学が不要だと思う理由は単純明快で、何の役にも立たないからです。大学に入って、「補助線を引いて、相似な三角形を作って～」とか「コンパスと定規による作図」みたいなパズルゲームをやることは絶対にありません(*2)。これは常識で考えても分かると思います。たとえば工学の研究で、ある物体の弧長や面積などを測定しなければならないとして、ユークリッド幾何学の補助線パズルが適用できる多角形や円などしか測れないのでは話になりません。一方、座標空間、ベクトル、三角関数、微分積分などの手法は一般的な現象を記述する上で必ず必要になります。
もちろん、たとえば三角比を定義するには、「三角形の内角の和は180度である」とか「2角が等しい三角形は相似である」といった初等幾何学の性質が必要になります。そのようなものを全て廃止せよと言っているわけではありません。しかし、高校1年生で習う余弦定理:
を証明してしまえば、原理的にはユークリッド幾何学の問題は解けます。それ以降は、ユークリッド幾何学的な手法や問題設定にこだわる必要はないと思いますし、実際それで問題ありません。
現状、少なくない時間がユークリッド幾何学に費やされています。数学の1単元を占めているだけではなく、その他の単元にもユークリッド幾何学の発想に影響された例や問題が多く登場します。たとえば、複素平面において4点の共円条件や垂直二等分線を求めさせる問題など。そして最も労費されているのは生徒の自習時間です。以前よりマシになったとはいえ、大学入試等には技巧的な図形問題が出題されるため、受験生はその対策に多大な時間を費やしています。
高校数学では以下のような事項が重要だと思います。ユークリッド幾何学を学ばせている時間があったら、このような分野を優先的に修められるようにすべきです。
これらの分野は数学の手法としても非常に強力ですし、大学以降で数学を学ぶ際、現実的な問題を数学や物理の問題として正確に記述する際に必ず必要になります。仮にユークリッド幾何学が何らかの場面で応用されるとしても、微分積分などと同レベルに重要だと真剣に主張する人っていらっしゃるでしょうか？
ユークリッド幾何学を初等教育で教えるべきだとする根拠には、大雑把に言って以下の4つがあると思います。
まず①は明らかにおかしいです。ユークリッド幾何学に限らず、数学のあらゆる命題は証明されるべきものだからです。高校の教科書を読めば、相加平均・相乗平均の不等式、点と平面の距離の公式、三角関数の加法定理、微分のライプニッツ則や部分積分の公式など、どれも証明されています。そもそも、数学の問題はすべて証明問題です。たとえば、関数の極値問題は、単に微分が0になる点を計算するだけではなく、そこが実際に極値であるかそうでないかを定義や既知の性質に基づいて示す必要があります。したがって、ユークリッド幾何学だけが特に証明の考え方を学ぶのに有効だという理由はありません。
②もおかしいです。図形問題を扱うのはユークリッド幾何学だけではないからです。ベクトルや微分積分でも図形問題を扱います。たとえば、三角形の5心の存在や、チェバの定理、メネラウスの定理などはベクトルを用いても容易に示すことができます。また言うまでもなく、曲線の接線は微分で求めることができ、面積や体積は積分で求めることができます。また、ユークリッド幾何学の手法は問題ごとに巧い補助線などを発見しなければいけないのに対し、解析的な手法は一般に方針が立てやすく汎用的です。したがって、図形問題を扱うのにユークリッド幾何学の手法にこだわる理由はありません。
③は単なる個人の思い込みであり、科学的な根拠はありません。そもそも、数学教育の目的は「地頭」などを鍛えることではなく、「大学や実社会において必要な数学の素養を身につけること」のはずです。また、これも上ふたつと同様に「ユークリッド幾何学以外の数学では、『数学的直観』などは鍛えられないのか」という疑問に答えられておらず、ユークリッド幾何学を特別視する理由になっていません。
④もおかしいです。そもそも「歴史的に重要である」ことと「初等教育で教えるべき」という主張には何の関係もありません。歴史的に重要ならば教えるというなら、古代バビロニア、インド、中国などの数学は特に扱わないのはなぜでしょうか。もっと言えば、文字式や＋－×÷などの算術記号が使われ始めたのでさえ、数学史的に見ればごく最近のことですが、昔はそれらを使わなかったからといって、今でもそれらを使わずに数学を記述するべき理由があるでしょうか。
数学で重要なのはその内容であるはずです。ユークリッド幾何学を擁護する論者は、「（表面的に）計算問題に見えるか、証明問題に見えるか」のようなところに価値を置いて、一方が数学教育的に有意疑だと見なしているようですが、そんな分類に意味は無いと思います。
大昔は代数の計算や方程式の解法（に対応するもの）は作図問題に帰着していたようですが、現代でそれと同様の手法を取るべき理由は全くありません。記述する内容が同じであれば、多項式や初等解析のような洗練された方法・重要な結果を導きやすい方法を用いればよいに決まっています（数学史家は別として）。同様に、ユークリッド幾何学も、解析的な手法で解ければそれでよく、技巧的な補助線パズルなどに興じたり、公理的な方法にこだわる必要はありません。
たとえば、放物線は直線と点からの距離が等しい点の軌跡として定義することもできますが、初等教育で重要なのは明らかに2次関数のグラフとして現れるものです。放物線を離心率や円錐の断面などを用いて導入したところで、結局やるのは二次関数の増減問題なのですから、最初から2次関数のグラフとして導入するのは理にかなっています。数学教育の題材は「計算問題か証明問題か」などではなく、このような観点で取捨選択すべきです。
三角比などを学んだあともユークリッド幾何学を教えたり、解析的な手法では煩雑になるがユークリッド幾何学の範疇ではエレガントに解けるような問題を出して受験生を脅したりするのは、意味が無いと思います。それは、「掛ける数」と「掛けられる数」を区別したり、中学で連立方程式を学ぶのに小学生に鶴亀算を教えるのと同様に、無駄なことをしていると思います。
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(*1)
現代数学では、n次元ベクトル空間R^n = Re_1⊕...⊕Re_nに
(e_i, e_j) = δ_i,j (クロネッカーのデルタ)
で内積が定義される空間上の幾何学はすべてユークリッド幾何学に分類されます。したがって、上にあげた座標空間、ベクトル、微分積分、一次変換なども敢えて分類すればユークリッド幾何学です。しかし、ここではその意味でのユークリッド幾何学が不要と言っているのではありません。飽くまでも、技巧的な補助線問題や、公理的な方法にこだわることが不要だと言っています。
(*2)
数学科の専門課程で学ぶガロア理論では、コンパスと定規による作図可能性が論じられますが、これは「作図問題にガロア理論が応用できる」というだけであり、「ガロア理論を学ぶのに作図の知識が必要」というわけではありません。
その営業いわく、
……そもそも契約する気がないのだけど(メインのスマホがソフトバンクで、キャンペーンで電気代数ヶ月完全無料+携帯料金とセットで支払いできて便利なので電気もソフトバンク経由で契約してる)、訪問時間といい、説明内容といい、どう聞いてもまともではない。
あまりにも一方的に喋り、粘りそうな雰囲気だったので、契約を進めるふりだけしたが、途中、支払いがクレカのみということで、クレカを持っていないふりをしたらあっさり撤退していった(「みんな契約切り替えてもらってる」って説明してたのに！)。
その営業が名乗った事業者自体は存在するようだけど、詐欺ならわかりやすいけど、仮に正式な事業者だとして、契約がさも義務であるかのように誤認させる営業は違法ではないのか。大体こういう場合、代理店がやらかしてたりするんだろうけど。
名刺くらいもらっておくんだったなー。
まず、プログラミングとは以下の２つの要素から成り立っていることが理解されていない。
ただ、これは勉強すれば得られる。得られないなら諦めるしか無い。
そして最悪得られなくてもプログラミングはできる。
プログラミングの大半はこっちだということが理解されていない。
数学的要素が生かされるのはプログラムの１割程度だが、残り９割は整理学的要素だ。
みたいなことをしっかり考えて実行できるかどうかという能力が求められる。
加えて
というようなことまで考えが及ぶかどうか、といったことが最終的にはプログラミングで求められる
プログラミングの文法やfor文、if文なんて教えてもしょうがない。
物事の繰り返し構造や条件分岐のタイミングを教えなければツールはあっても使うことはできない。
プログラミングスクールで教えることはものづくりの楽しさだったりするのだが
そういったモノは動機や動機付けにはなっても実際の能力を向上させることはない。
どうせほとんどの読者は高校数学さえ理解していないのだから、何を解説したって数学の本質的な理解は無理なのかもしれない
彼らには、以下はどれも同じに見えている
虚二次体の有限次Abel拡大は、1のべき根と、楕円モジュラー函数の特殊値と、虚数乗法を持つ楕円曲線の等分点の座標で生成される。
Xを位数q=p^mの有限体F_q上のn次元非特異射影代数多様体、Y=X×_{F_q}(F_qの代数閉包)とすると、
#X(F_q) = ∑[i=0, 2n](-1)^i Tr(F_q, H^i(Y, Q_l))。
Cをダークマターの作用を持つN次元クリスタル、Xをそのアトラクターとすると、XからCへの次元変換Fは、固有なファクター方程式
F = F_1 ⊕ ... ⊕ F_N
を満たす。
興味を持つのは決して悪いことではない。
しかし、冷静に考えてみなさい。あなたは、それについて何を知っていて、何を知らないのか理解できているか？
IUT理論は、数論幾何（数学の中でもとりわけ抽象的で難解な分野）の専門家でも、理解するのが難しい理論だ。
多分、あなたはそれに関して知っていることは何もない。つまり、何か具体的な手がかりを元に興味を持ったのではなく、ただ単に話題に便乗しているだけなのだ。
たとえば、「双曲的代数曲線はその数論的基本群により決定される」という記述が、数学的に何を意味しているのか、理解できているだろうか？理解できていないなら、もっと基礎的なことを勉強するのが先だ。
世の中、物事の内容を理解せずに、そのものを知った気になる人が多すぎる。
たとえば、テレビや新聞で核兵器について云々している人たちの9割9部は、軍事の体系的な知識を持っていない。なぜ核兵器を論ずるのかと言えば、単に話題になるからだ。
公務員の削減を主張している人のほとんどは、行政や産業に関する具体的な知識を持っていない。なぜ公務員の削減を主張するのかと言えば、単に話題になるからだ。
一方は正しい数学の文章である。もしかしたら間違っているかも知れないが、少なくとも数学的に正しいか間違っているかが判定できる。
もう一方は完全に出鱈目な文章である。数学的に何の意味もない支離滅裂なものである。
本稿を通して、kは代数閉体とする。
i: [x: y] → [x^2: xy: y^2]
を考える。iの像は、ℙ^2の閉部分スキーム
Proj(k[X, Y, Z]/(Y^2 - XZ))
と同型であり、iはℙ^1のℙ^2への埋め込みになっている。ℙ^2の可逆層O_{ℙ^2}(1)のiによる引き戻しi^*(O_{ℙ^2}(1))は、ℙ^1の可逆層O_{ℙ^1}(2)である。つまり、O_{ℙ^1}(2)はℙ^1のℙ^2への埋め込みを定める。
与えられたスキームが射影空間に埋め込めるかどうかは、代数幾何学において重要な問題である。以下、可逆層と射影空間への射の関係について述べる。
定義:
Xをスキームとし、FをO_X加群の層とする。Fが大域切断で生成されるとは、{s_i∈H^0(X, F)}_{i∈I}が存在して、任意の点x∈Xに対して、ストークF_xがO_{X,x}加群としてs_{i,x}で生成されることである。
Xをk上のスキーム、LをX上の可逆層で大域切断で生成されるものとする。d + 1 = dim(H^0(X, L))とし、s_0, ..., s_dをH^0(X, L)の生成元とする。このとき、Xからk上の射影空間ℙ^dへの射fが
f: x → [s_0(x): ...: s_d(x)]
により定まり、ℙ^dの可逆層O_{ℙ^d}(1)のfによる引き戻しf^*(O_{ℙ^d}(1))はLになっている。この射が埋め込みになるとき、Lをベリーアンプルという。生成元の取り方に寄らない定義を述べると、以下のようになる。
定義:
Xをk上のスキーム、LをX上の可逆層とする。Lがベリーアンプルであるとは、k上の射影空間ℙ^dと埋め込みi: X → ℙ^dが存在して、L～i^*(O_{ℙ^d}(1))となることである。
例として、ℂ上の楕円曲線（種数1の非特異射影曲線）Eを考える。閉点p∈Eと自然数n≧1に対して、因子pに付随する可逆層O_{E}(np)={f∈K(E)| np + (f)≧0}を考える。Riemann-Rochの定理より、
dim(O_{E}(np)) - dim(O_{E}(K - np)) = deg(np) + 1 - g = n
∴ dim(O_{E}(np)) = n + dim(O_{E}(K - np))
であり、楕円曲線上の正則微分形式は零点も極も持たないから、すべてのnに対してdeg(K - np)＜0であり、よってdim(O_{E}(K - np))=0。
∴ dim(O_{E}(np)) = n
n = 1の場合、O_{E}(p)はベリーアンプルではない。n = 2の場合も、よく知られたように楕円曲線は射影直線には埋め込めないから、O_{E}(2p)もベリーアンプルではない。n≧3のとき、実はO_{E}(np)はベリーアンプルになる。
この例のように、Lはベリーアンプルではないが、自身との積を取って大域切断を増やしてやるとベリーアンプルになることがある。その場合、次元の高い射影空間に埋め込める。
定義:
Xをk上のスキーム、LをX上の可逆層とする。十分大きなnに対して、L^⊗nがベリーアンプルとなるとき、Lをアンプルであるという。
与えられた可逆層がアンプルであるか判定するのは、一般的に難しい問題である。アンプルかどうかの判定法としては、Cartan-Serre-Grothendieckによるコホモロジーを用いるものと、Nakai-Moishezonによる交点数を用いるものが有名である。
定理(Cartan-Serre-Grothendieck):
XをNoether環上固有なスキーム、LをX上の可逆層とする。Lがアンプルであるためには、X上の任意の連接層Fに対して、自然数n(F)が存在して、
i≧1、n≧n(F)ならば、H^i(X, F⊗L^⊗n) = 0
定理(Nakai-Moishezon):
Xをk上固有なスキーム、DをX上のCartier因子とする。可逆層O_{X}(D)がアンプルであるためには、Xの任意の1次元以上の既約部分多様体Yに対して、
D^dim(Y).Y＞0
kを体とし、Xをk上の代数多様体とする。Xに対して、環E(X)が以下のように定まる。E(X)は
E(X) = E_0⊕E_1⊕E_2⊕...
と分解し、各E_dはXのd次元部分多様体のホモトピー同値類からなるk上のベクトル空間であり、d次元部分多様体Yとe次元部分多様体Zに対して、[Y]∈E_d, [Z]∈E_eの積は、代数多様体の積の同値類[Y×Z]∈E_{d+e}である。この積は代表元Y, Zの取り方によらず定まる。各E_dの元のことを、d次元のサイクルと呼ぶ。
このE(X)をXのEuclid環という。Euclid環の名称は、Euclidによる最大公約数を求めるアルゴリズムに由来する。すなわち、任意のサイクル[Y], [Z]∈E(X) ([Z]≠0)に対して、あるサイクル[Q], [R]∈E(X)が一意的に存在して、
・[Y] = [Q×Z] + [R]
・dim(R)＜dim(Z)
が成り立つためである。ここで、[R] = 0となるとき、[Z]は[Y]の因子であるという。
dim(X) = nとする。d≧n+1を含むE_dを上述の積の定義により定める。すなわち、任意のサイクルz∈E_dは、Xのd次元部分多様体Zが存在してz = [Z]となっているか、d = e + fをみたすe, fと、[E]∈E_e、[F]∈E_fが存在して、z = [E×F]となっている。後者のように低次元のサイクルの積として得られないサイクルを、単純サイクルまたは新サイクルという。
このとき、k上の代数多様体X_∞で、任意の[Z]∈E(X)に対して、[X_∞×Z] = [X_∞]、[X_∞∩Z] = [Z]∈E(X)となるものが存在する。このX_∞をXの普遍代数多様体と呼び、E~(X) = E((X))⊕k[X_∞]をE(X)の完備化または完備Euclid環という（ただし、E((X)) = {Σ[d=0,∞]z_d| z_d∈E_d}）。完備Euclid環の著しい性質は、Fourier級数展開ができることである。
定理:
各dに対して、単純サイクルからなる基底{b_{d, 1}, ..., b_{d, n(d)}}⊂E_dが存在して、任意のf∈E~(X)は
f = Σ[d=0,∞]Σ[k=1,n(d)]a_{d, k}b_{d, k}
と表される。ただし、a_{d, k}はHilbert-Poincaré内積(f = [Z], b_{d, k})=∫_{b}ω^d_{X_∞}∧[Z]で与えられるkの元である。
Xとしてk上の代数群、つまり代数多様体であり群でもあるものを考える。このとき、Xの群法則はX×XからXへの有理写像になるから、完備Euclid環上の線形作用素を誘導する。この作用素に関しては、次の定理が重要である。
定理(Hilbert):
Xがコンパクトな代数群であれば、完備Euclid環に誘導された線形作用素は有界作用素である。
以下の定理は、スペクトル分解により単純サイクルによる基底が得られることを主要している。
定理(Hilbert):
集合Kが2つの二項演算+: K×K→K、*: K×K→Kを持ち、以下の性質を満たすとき、Kは体であるという。
K, Lを体とする。K⊂Lとなるとき、LをKの拡大体という。L/Kが拡大であるともいう。もちろん、これはLの部分群Kによる剰余群のことではない。
C/Rや、C/Qは体の拡大の例である。K(X)/K(X^2)なども体の拡大の例である。
L/Kを体の拡大とする。任意のa∈Lに対して、K係数の多項式f(X)が存在して、f(a)=0となるとき、LをKの代数拡大体、またはL/Kは代数拡大であるという。
そのような多項式が存在しない元が存在するとき、LはKの超越拡大体、またはL/Kは超越拡大であるという。
なぜならば、任意のz∈Cはz = x + yi (x, y∈R)と表わせ、z* = x - yiとおくと、zは二次方程式
X^2 -(z + z*)X + zz* = 0
の解だから。
Kを体とする。K上の任意の多項式F(X)に対して、Fの根を全て含む体Lが存在する。言い換えれば、FはLで
と一次の積に分解する。このようなLのうち最小のものが存在し、Fの（最小）分解体という。Fの分解体はKの代数拡大体である。
LをFの分解体とする。Lの部分環Vを
K[X1, ..., Xn]→L (f(X1, ..., Xn)→f(a1, ..., an))
の像とすると、VはK上のベクトル空間である。各aiはn次多項式の根であるから、aiのn次以上の式はn-1次以下の式に等しくなる。従って、VはK上高々n^2次元の有限次元のベクトル空間である。
Vは整域であるから、0でない元による掛け算は、VからVへの単射線形写像である。したがって、線形写像の階数と核の次元に関する定理から、この写像は全射である。よって、Vの0でない任意の元には逆元が存在する。つまり、Vは体である。
Lは、Kと各aiを含む最小の体であり、V⊂Lなので、L=Vである。
さて、Lの元でK上のいかなる多項式の根にならないものが存在したとし、それをαとおくと、無限個の元1, α, α^2, ...は、K上一次独立となる。これはVが有限次元であることに矛盾する。□
L/Kを代数拡大とする。LはK上のベクトル空間となる。その次元をL/Kの拡大次数といい、[L : K]で表す。[L : K]が有限のとき、L/Kは有限拡大といい、無限大のとき無限次代数拡大という（上の証明でみたとおり、超越拡大は必ず無限次拡大である）。
M/K、L/Mがともに有限拡大ならば、L/Kも有限拡大であり、[L : K] = [L : M] [M : K]。
α∈Lとする。K上の多項式fでf(α)=0をみたすもののうち、次数が最小のものが定数倍を除いて存在し、それをαの最小多項式という。
[K(α) : K]は、αの最小多項式の次数に等しい。なぜならば、その次数をnとするとαのn次以上の式はすべてn-1次以下の式になるため、[K(α) : K]≦n。1, α, ..., α^(n-1)が一次従属だとすると、n-1次以下の多項式でαを根に持つものが存在することになるので、[K(α) : K]≧n。よって、[K(α) : K]=n。
Lの自己同型σでKの元を固定するもの、つまり任意のa∈Kに対してσ(a)=aとなるもの全体のなす群をAut(L/K)と書く。
任意の有限拡大L/Kに対して、#Aut(L/K) ≦ [L : K]。
L/Kを有限拡大とする。#Aut(L/K) = [L : K]が成り立つとき、L/KをGalois拡大という。L/KがGalois拡大のとき、Aut(L/K)をGal(L/K)と書き、L/KのGalois群という。
L/Kを有限拡大、[L : K] = 2とする。#Aut(L/K) ≦ [L : K] = 2なので、Aut(L/K)に恒等写像以外の元が存在することを示せばよい。
[L : K] = 2なので、α∈L＼Kが存在して、1, α, α^2は一次従属。したがって、α^2 - aα + b = 0となるa, b∈Kが存在する。解と係数の関係から、α, a - α∈Lは、2次方程式X^2 - aX + b = 0の異なる2解。
α∉Kより、K⊕KαはK上2次元のベクトル空間で、K⊕Kα⊂LなのでL=K⊕Kα。
σ: L→Lをσ(1)=1, σ(α)=a-αとなるK線形写像とすれば、σは全単射であり、Kの元を固定する体の準同型でもあるので、σ∈Aut(L/K)。□
C/RはGalois拡大。
L/Kを有限拡大とする。任意のα∈Lに対して、αのK上の最小多項式が、Lで1次式の積に分解するとき、L/Kを正規拡大という。
L=K(α)とすると、L/Kが正規拡大であるのは、αの最小多項式がLで一次の積に分解するときである。
K(α)/Kが正規拡大で、さらにαの最小多項式が重根を持たなければ、αを他の根に写す写像がAut(K(α)/K)の元になるから、Aut(K(α)/K) = αの最小多項式の次数 = [K(α) : K]となり、K(α)/KはGalois拡大になる。
nを自然数として、ζ_n = exp(2πi/n)とする。ζ_nの最小多項式は、Π[0 ＜ m ＜ n, gcd(m, n)=1](X - (ζ_n)^m)であり、Q(ζ_n)/QはGalois拡大である。
L/Kを有限拡大とする。任意のα∈Lの最小多項式が重根を持たないとき、L/Kは分離拡大という。
体Kに対して、1を1に写すことで一意的に定まる環準同型f: Z→Kがある。fの像は整域だから、fの核はZの素イデアルである。fの核が(0)のとき、Kの標数は0であるといい、fの核が(p)であるとき、fの標数はpであるという。
F_2 = Z/2Zとする。F_2係数の有理関数体F_2(X)/F_2(X^2)は分離拡大ではない。
実際、XのF_2(X^2)上の最小多項式は、T^2 - X^2 = (T - X)(T + X) = (T - X)^2となり、重根を持つ。
L/KをGalois拡大、Gal(L/K)をGalois群とする。
K⊂M⊂Lとなる体Mを、L/Kの中間体という。
部分群H⊂Gal(L/K)に対して、L^H := {a∈L| 任意のσ∈Hに対してσ(a)=a}は、L/Kの中間体になる。
逆に、中間体K⊂M⊂Lに対して、Aut(L/M)はGal(L/K)の部分群になる。
次のGalois理論の基本定理は、L/Kの中間体がGalois群で決定されることを述べている。
L/KをGalois拡大とする。L/Kの中間体と、Gal(L/K)の部分群の間には、以下で与えられる1対1対応がある。
- H'⊂H⊂Gal(L/K)ならば、K⊂L^H⊂L^H'⊂L
- K⊂M⊂M'⊂Lならば、Aut(L/M')⊂Aut(L/M)⊂Gal(L/K)
- 中間体K⊂M⊂Lに対して、#Aut(L/M)=[L : M]。つまり、L/MはGalois拡大
- 部分群H⊂Gal(L/K)に対して、#H = [L : L^H]、#Gal(L/K)/H = [L^H : K]
- 中間体K⊂M⊂Lに対して、M/Kが正規拡大（L/Kは分離的なのでM/Kも分離的であり、従ってGalois拡大）であることと、Gal(L/M)がGal(L/K)の正規部分群であることが同値であり、Gal(L/K)/Gal(L/M)〜Gal(M/K)。同型はσ∈Gal(L/K)のMへの制限で与えられる。
K=Q, L=Q(√2, √3)とすると、Gal(L/K)はσ√2→-√2とする写像σと、√3→-√3とする写像τで生成される位数4の群Z/2Z×Z/2Zである。
この部分群は{id}, {id, σ}, {id, τ}, {id, στ}, {id, σ, τ, στ}の5種類があり、それぞれ中間体L, Q(√2), Q(√3), Q(√6), Kに対応する。
位数が有限な体のことです。
集合Fに二項演算+: F×F→Fが定義され、以下の性質を満たすとき、Fは群であるという。
Fの元の個数をFの位数という。
上に加えて、さらに次の性質を満たすとき、Fをabel群という。
Fが環であるとは、2つの二項演算+: F×F→F、*: F×F→Fが定義され、以下を満たすことである。
Fが環であり、さらに以下を満たすとき、Fは可換環であるという。
Fが環であり、さらに以下を満たすとき、Fは斜体または可除環であるという。
Fが可換環であり、斜体であるとき、Fは体または可換体であるという。
位数有限な斜体は、可換体である。（Wedderburn）
逆に、任意の素数pと自然数n≧1に対して、位数p^nである体が同型を除いて一意的に存在する。q=p^nとして、この体をF_qと書く。
有限体F_qの有限拡大はF_(q^m)の形。
これはすべてGalois拡大であり、そのGalois群はFrobenius準同型
φ_q: x→x^q
中学高校の数学から、いわゆるユークリッド幾何学は廃止してよい。理由は単純明快で、何の役にも立たないからだ。
大学に入ったら、どの学部に行っても、「補助線を引いて、相似な三角形を作って〜」などと言ったパズルをやることは絶対にない。メネラウスの定理を高校卒業以降（高校数学の指導以外で）使ったことのある現代人はいないだろう。こういうことは、別に高等数学の知識の無い高校生でも、常識で考えて分かると思う。たとえば工学で、弧長や面積を測定する機器が必要になったとして、補助線パズルが適用できるごく一部の多角形などしか測れないのでは話にならない。現代の数学および科学技術を支えているのは、三角関数やベクトルや微分積分などを基礎とする解析的な手法である。
もちろん、たとえば三角比を定義するには「三角形の内角の和は180°である」とか「2角が等しい三角形は相似である」等のユークリッド幾何学の定理が必要になる。そういうものを全て廃止せよと言っているわけではない。しかし、余弦定理まで証明してしまえば、原理的にはユークリッド幾何学の問題は解ける。また、実用上もそれで問題ない。したがって、余弦定理を初等的な方法で示したら、ユークリッド幾何学の手法はお役御免でよい。
これらはいずれも、高等数学を学ぶ際に欠かせない基礎となる分野である。仮にユークリッド幾何学が何らかの場面で使われるとしても、いくらなんでも微分積分などと同等以上に重要だと主張する人はいないだろう。
現在、これらの分野は十分に教えられていない。微分方程式と一次変換は現在（2020年5月）のカリキュラムでは教えられておらず、ベクトルは文系の範囲から除かれ、代わりにほとんど内容の無い統計分野が教えられている。また、高校生にもなって、コンパスと定規による作図みたいなくだらないことをやっている。本当に、どうかしているとしか言い様がない。
ユークリッド幾何学を教えるべきとする根拠の代表的なものは、証明の考えに触れられるというものだ。つまり、代数や解析は計算が主体であるが、ユークリッド幾何学は証明が主体なので、数学的な思考力を鍛えられるというものだ。
しかし、これは明らかに間違っている。別にユークリッド幾何学の分野に限らず、数学のあらゆる命題は証明されなければならないからだ。実際、高校数学の教科書を読めば、三角関数の加法定理や、微分のライプニッツ則など、証明が載っている。そもそも、数学の問題は全て証明問題である。関数の極値問題は、単に微分が0になる点を計算するだけではなく、そこが実際に極値であることを定義に基づいて示さねばならない。数学的思考力を養うのに、ユークリッド幾何学が他の分野より効果的だという根拠は無い。
だが中の人々も、いまいちわかってない人が一部いそうで恐ろしいので書いておく。
GoogleでAI研究する人も、SESとして古いシステムのメンテしている人も、
最新のハイエンド3Dゲームで新しいエンジンを評価する人も、孫請で決まったテストをやらされてる人も、
webの標準を策定する人も、cssでflexboxをようやく理解した人も、
料理で例えよう。
水準で言うなら、
幅で言うなら、
用途で言うなら、
それを一緒くたにしないこと。
あとこの業界の特色として、早い。
（これは端的に、人のが遅いからだろう）
そして日本の業界構造として、SIerと仲間たち、という、その速さを欠く人々がマジョリティだ。
この人達は速さを欠くのだ。（だから水を空けられていて、世界の名だたるtech企業に日本の会社はない。任天堂さんは神だが。）
その人らが多い状況で、つまり日本で語られるIT系あるあるは、差っ引いて考える必要がある。
もちろん、対抗勢力的な「webを覚えた若者」もたいした見通しで語ってる訳ではない。
（web畑ネイティブの人の欠点は、社会における比重の小ささを、いまいち肌でわかっていない点だ。知る必要性はないが、こういう話題を扱うには、自然には知りえない部分が広いと自覚すべきだ。）
というか、この30年、特にiphone以降の10年、ITにというのは拡大が急速だ。
（自分も偉そうに言ってるが、）どの個人が見る景色も、全体像からは遠くなってしまう。
だからはてな風に言うなら、「IT」も「プログラマ」も主語が大きく、観測範囲に依存しがちだ。
インターネッツの基本、のような話になってしまうが、リテラシーをこそ問われている。
職に関して。
拡大するのだから人は求められ続ける。
他業界の閉塞感が蔓延し、同時にITが拡大している現実がある。それらがマッチした当然の現象。エンジニア転職は拡大されるだろう。
なりたい人が見ているなら、いいチャンスだと思う。上記の通り、こうした場でのアドバイスはブレがある。そこそこに。
職の有無だけで言えば、あるだろう。
適正があれば職につくのは簡単だ。よほど不適正じゃなければなんとかなる。
（不適正な人はいる。多分概念的な思考力だろう。一対多・多対多、抽象化とか代数への適正だと思っている）
ただ、中の人的にマウント的に願望を言うなら、求められるのは優秀なエンジニアだ。
速さを欠く個人は先端についていけない。
業界があるから生きられるにせよ、ついていけていないことに気づく機会すらない。
食べ物が、出来を問わず毎日一定量求められているのと違い、エンジニア仕事は人のレバレッジが大きい。
それは社会全体の格差の拡大と相似形だ。要するに、IT・ICT環境がもたらす必然的な帰結だ。
そこはただのスパルタで辿り着ける領域ではない。自律的なら辿り着けるほど低くない（勿論、自律的でないなら話にならない）。
そういうグラデーションの中で、もちろん能動的であるほうが、より重宝される状態を保てるだろう。
一方で、低い側を言うなら、少なくとも当面のあいだ、職はあるだろう。どんなのでもだ。
受動的では職がないなら、これまで見てきた酷いエンジニア（？）たちが幽霊だったことになる。
はてなという場所は、おそらく幅広いグラデーションで人がいる。（真のトップ層はいないだろう）
| 対象 | 型 |
| 射 | 関数 |
単にHaskellの文法を学ぶだけで、背後にある考え方（圏論）は、まだ知らなくてもOK。
圏論は元々数学で考案された考え方なので、直接的には代数やとトポロジーの知識が必要になるが、そこまでのレベルは求めていない。
とりあえず、プログラミングで使える程度の初歩的なレベルの理解で十分。
圏論の知識を基にして、Haskellの文法や仕組みを見直してみる。
型注釈は対象を定義して、関数は射を定義していることが分かる。
マセマの数学系の本を読んだことがある。東大の工学部の院試を受けてみて受かったことがある。
生物系の研究でも数学っぽい概念が絶対確立されてそうな雰囲気なものが多いので、数学を理解したいなーと思っていた。
２カ月くらい前に受験を決意。
＜実際の結果＞
カナリ過去問から出ると思った。逆に言えば、過去問で解答を作成できるかどうかが勝負。
基礎科目（大学１，２年レベル）と専門（代数、幾何、解析、その他の数学科特有の分野）に分かれるが。
基礎科目すら危うかった。専門は全く勝負にならなかった。
＜基礎科目のお勉強＞
基礎科目の方は、割とマセマと『演習大学院入試』で何とかなると感じた。もちろん、過去問の答えを全て作成できることが前提だけど。
追加で、『イプシロンデルタ完全攻略』、『線形代数３０講』（固有値と固有空間問題対策）でやったくらい。
時間があれば、もっと実際に手を動かして計算練習などすれば、点数は満点近くまで伸びると感じた。
一方で、集合論や幾何学を捨てていたので、京都大学の受験ではかなりビハインドを引いてしまったし、東大でも逃げ科目を作れなかったのが少し痛かった。
１００時間ほどで過去問まで対策できた。初学の分野が少なかった（複素関数、εδ、微分方程式の級数解放、線形代数の空間論が初学）ので、割となんとかなった。
＜専門のお勉強＞
代数学は『代数学１，２（雪江）』、『群・環・体 入門』、『代数学演習』、『大学院への代数学演習』と「物理のかぎしっぽ」で対策したのだが。
１００時間も勉強時間を取れなかったので、ガロア拡大の計算と、イデアルの簡単な奴しか抑えられなかった。しかも、本番で出てきたのは、明らかに知らない概念だった。もちろん、問題分の意味は何とか理解できたが、恐らくは『アティマク』や『ハーツホーン』や整数論系の概念を知らないと厳しい問題だった。
過去問を見てもできないなーと思っていたが、試験場で他の人たちが、洋書やハーツホーンや零点定理やシェバレーと言った、全く知らない概念を話していたので、勉強する分野を完全にミスったと思った。
ネットでググっても、雪江代数で受かってるっぽい感じだったから、雪江代数だけで行けると思ったけど、勘違いだったみたい。
無念。
＜感想＞
結果的にはゼンゼン駄目だったけど、数学科の人たちの雰囲気や、レベルを肌で理解できてよかった。
時間が更にあるなら、
あと、代数学もアティマクとハーツホーンと整数論は押さえたいなあと思った。
これはどこかで聞いた与太話なんだが、「男性と女性の脳の違いはあるけど、(おまえらが考えるようなものでは)ない」と誰かが言ってたな。
まずそもそも違いが生まれる要因が環境にあるのか遺伝子にあるのかもわからないこと、また「全体としての傾向」から「個体差」を演繹的に導くことは不可能、が前提。その上で、データを調べればどんなところにも何かしらの違いを見出すことはできる。それはもちろん男性/女性の間にも言える。まあ、血液型だってそうなんだから、要するに世間で蔓延る「男性脳/女性脳」ってのは血液型占いと同レベルなんだけど。
前置き終わり。
そういうわけで、ある程度統計的に正しいだろうと言われているのが、「空間把握能力は男性が優位。言語認知能力は女性が優位」というもの。で、よくある誤解が「論理的思考は男性が得意だから、数学は男性が得意」というもの。これは何が嘘かと言うと、そもそも「論理的思考」とは何かという定義がそれほど明確ではない。もしもそれを「言葉で説明する能力」とするなら、言語認知能力が優位とされる女性の方が得意でも不思議ではない。ではなぜそうならないかと言うと、数学は幾何学と密接に結びついて発展した学問だから。数学は高い空間把握能力が要求するんだと。確かに数学って、難しい問題=難しい図形の問題ってイメージあるよね。でも、それだけが「数学」なのかな？とも思う。現代数学はむしろ、コンピュータとか数理論理学とか、必ずしも幾何学的直感を要求されない分野が大きな存在感を発揮してるよね。もちろん極度に抽象化された数学の世界に幾何も論理も区別はないから、「どちらも得意」な人が一番必要なんだけど。
大学でも、俺の周りにも数学科の女性って少ないながらいるんだけど、みんな基礎論とか代数とか行っちゃうんだよね。トポロジーもいるけど、やっぱりやってるのは代数的トポロジー。解析はあんまりいないかな。抽象的なことをやりたがる女性が多い印象ある。
結局何が言いたいかと言うと、例えば初等教育の中にもそういう言語的なセンスを要求される数学を取り入れる時代が来たら、男性/女性の得意/不得意って容易に入れ替わる可能性もなきにしもあらず、じゃないかな？ということ。
ノリアキという、歌手がいて。
彼は現在、３５歳くらいだ。
ツイッターなどは更新してるみたいだが、田舎で機械学習カフェ？みたいなのでインタビューを最近受けたらしい。
自分は３０歳。
人間だけじゃない、色々な店が消えて行った。
チャレンジして芽が出たノリアキですら、こんな感じ。
色々に手をだして、微妙だった、という結論が出た人が多いのではないか。
30歳という年齢が怖い。
専門職なので、その職業のある程度の世界最先端は知っているつもりだが。
恐ろしいくらいに知らない。
３０歳までに、隙あらば勉強しているが、やはり大学以上の数学、物理は難しい。大学院入試くらいは解けるのだけれど、その上の、専門レベルとなると歯が立たない。
それでも、毎日、一つ一つ学んで成長しているが。
知らないこと、マダマダ遠い。
奨励会という将棋のプロの育成施設は、２０代後半までが年齢制限らしい。
将棋とか、自分は初段なんだけど、初段ですら、３年以上かかっている。プロとか及びもつかない。
その中で、２０代後半までやっている人と言うと、これはものすごい。
物理に関しては、熱力学や機械系の解析力学などの、普通の力学は、普通に理解できたが、量子力学は実験系との兼ね合いなどが難しい。数学が絡むと異常にキツイ。
自分も、成し遂げられないまま、過去の挑戦に慰められる存在になるんだろうか。
怖い。
それがはてブの総意じゃなかったの？
教員の働き方がブラックすぎて、教育学部の倍率がヤバイことに。 - Togetter
http://b.hatena.ne.jp/entry/s/togetter.com/li/1309183
日本の英語力は国際的に見ても壊滅的だから、英検の上級やTOEICの高得点を持っている教師に低学年からの厚い教育を期待するんじゃなかったの？
情報理論の時代遅れの知識ではなく、プログラミングの実務面にも明るい教師を求めるんじゃなかったの？
運動会で組み体操などの危険な演目に走らずとも児童全員に見せ場を用意し、児童の安全にも完璧に配慮できる教師を求めるんじゃなかったの？
児童のエスニックバックグラウンドの多様性に配慮して、日本語が拙い児童にも個別にケアし、場合によっては外国語しか話せない保護者の方ともコミュニケーションを取りつつ、誰もが劣等感を抱かず自分のアイデンティティに誇りを持てる教室作りを目指すんじゃなかったの？
発達障害や運動協調障害の児童にも配慮して、誰もが自分のペースで学びを深め、体育の時間にも競技を安易にやらせて終わり、ではなく運動が本当は楽しいことを伝えるべき素質が教師に求められるんじゃなかったの？
糖尿病や重度身体障害、知的障害の児童も特別支援校や特別学級へと排除するのではなく、適切なケアを提供しつつインクルーシブ教育を推進するのが今の教師なんじゃなかったの？
家庭科では子供を持たない人生もあっていいことなど多様なライフタイルの存在を伝え、ジェンダー平等の追求だけでなく性的少数者の児童にも寄り添い、誰もが自分の性のあり方に誇りを持てる性教育の実践家としての教師、じゃなかったの？
アルビノの生徒に髪を染めさせるような人権侵害は言語道断として、そもそも無意味な校則で子供達を縛るのではなく、自主性を尊重した上で公共心を養わせ、自分達の手で自然とルール作りを行うことのできる場を教師は提供すべきなんじゃなかったの？
さくらんぼ計算や掛け算の順序、漢字の瑣末な書き順といった意味不明なカリキュラムに拘泥するのではなく、生徒の多様性と教育の本質を理解し、かつ学びが速い生徒の能力も尊重してカリキュラム外の高度な代数や三角関数を用いた解法を用いた算数の答案にも合格点をつけられる教師が21世紀のありうべき教師像じゃなかったの？
イジメを未然に防げるよう児童同士の関係性を日々気にかけて、それでも起きてしまったら迅速な関係児童へのケアと関連公的機関との連携、さらに社会へのコンプライアンスを全うできない教師は失格じゃなかったの？
何、あらゆる事態に対処できる有能な人材は有限だとか、私生活のことも考慮すると教師一人一人の時間は有限だとか、トレードオフ構造を今さら理解しましたみたいに、皆しおらしくなっちゃってるのよ。
